Qanday shartda karrali va takroriy limitlar teng bo’ladi? Matematik analiz

1-misol.  funksiya berilgan.  ni hisoblang.
Yechish.  ,  ,  , demak  .
Yuqorida aytilganlardan, funksiyaning yuqori tartibli, masalan, n-tartibli hosilalarini topish uchun uning barcha oldingi tartibli hosilalarini topish zarurligi kelib chiqadi. Ammo ayrim funksiyalarning yuqori tartibli hosilalari uchun umumiy qonuniyatni topish va undan foydalanib formula keltirib chiqarish mumkin.

3. 
   Qanday shartda karrali va takroriy xususiy hosilalar teng bo’ladi?
   

n-tartibli o`zgarmas koeffitsientli chiziqli tenglamalar. Ikkinchi tartibli o`zgarmas koeffitsientli chiziqli tenglamalar.
To`plam quvvati. Ekvivalent to`plamlar. To`plam quvvati tushunchasi. Quvvatlarni taqqoslash. Sanoqli to`plamlar va ularning xossalari. Ratsional va algebraik sonlar to`plamlarining sanoqliligi. Haqiqiy sonlar to`plamining sanoqsizligi. Kontinuum quvvatli to`plamlar. Kompleks sonlar ketma-ketligi va qatorlar. Kompleks o`zgaruvchining funksiyasi haqida tushuncha, uning geometrik talqini. Funksiyaning limiti, uzluksizligi va tekis uzluksizligi. Kompleks o`zgaruvchili funksiyaning hosilasi. Differensiallanuvchi bo`lish sharti. Nuqtada va sohada analitik funksiya tushunchasi. Garmonik va qo`shma garmonik funksiyalar. Hosila moduli va argumentning geometrik ma’nosi. Kompleks o`zgaruvchili ko`rsatkichli, trigonometrik, logarifmik funksiyalar va ularning xossalari. Trigonometrik va giperbolik funksiyalar orasidagi bog`liqlik. Kompleks hadli darajali qatorlar. Abel teoremasi. Yaqinlashish doirasi va radiusi. Darajali qator yig`indisining yaqinlashish doirasida analitik funksiya ekanligi. Analitik funksiyani Teylor qatoriga yoyish. Koshi tengsizligi va Liuvill teoremasi. Algebraning asosiy teoremasi. Analitik funksiyalarning nollari. Yagonalik teoremasi. Ayrim elementar funksiyalarni haqiqiy o`qdan analitik davom ettirish. Loran qatori haqida tushuncha. Loran teoremasi. Maxsus nuqta. Maxsus nuqtalar klassifikatsiyasi. Chegirma tushunchasi. Chegirmalarni hisoblash. Chegirmalar haqidagi asosiy teorema. Integrallarni hisoblashda chegirmalarni qo`llash.

4. To’la differensial hisolash usulini tushuntiring?

— nomaʼlum funksiyalar, ularning turli tartibli hosilalari va erkli oʻzgaruvchilar ishtirok etgan tenglamalar. Bu tenglamalarda nomaʼlum funksiya i orqali belgilangan boʻlib, birinchi ikkitasida i bitta erkli oʻzgaruvchi t ga, keyingilarida esa mos ravishda x, t va x, u, z erkli oʻzgaruvchilarga bogʻliqdir. Differensial tenglama nazariyasi 17-asr oxirida differensial va integral hisobning paydo boʻlishi bilan bir vaqtda rivojlana boshlagan. Differensial tenglama matematikada, ayniqsa, uning tatbiklarida juda katta ahamiyatga ega. Fizika, mexanika, iqtisodiyot, texnika va boshqa sohalarning turli masalalarini tekshirish differensial tenglamani yechishga olib keladi. 2. Xususiy hosilali differensial tenglama Bu tenglamalarning oddiy differensial tenglamadan farqli muhim xususiyati shundan iboratki, ularning barcha yechimlari toʻplami, yaʼni "umumiy yechimi" ixtiyoriy oʻzgarmaslarga emas, balki ixtiyoriy funksiyalarga bogʻliq boʻladi; umuman, bu ixtiyoriy funksiyalarning soni differensial tenglamaning tartibiga teng; ularning erkli oʻzgaruvchilari soni esa izlanayotgan yechim oʻzgaruvchilari sonidan bitta kam boʻladi. Bir nomaʼlumli 1-tartibli xususiy hosilali Differensial tenglamani yechish oddiy differensial tenglama sistemasini yechishga olib keladi. Tartibi birdan yuqori boʻlgan xususiy hosilali differensial tenglama nazariyasida Koshi masalasi bilan bir katorda turli chegaraviy masalalar tekshiriladi.

5. 
   Yuqori tartibli to’la differensillar qanday hisoblanadi?
   

Differensial tenglama matematikada, ayniqsa, uning tatbiklarida juda katta ahamiyatga ega. Fizika, mexanika, iqtisodiyot, texnika va boshqa sohalarning turli masalalarini tekshirish differensial tenglamani yechishga olib keladi. 2. Xususiy hosilali differensial tenglama Bu tenglamalarning oddiy differensial tenglamadan farqli muhim xususiyati shundan iboratki, ularning barcha yechimlari toʻplami, yaʼni "umumiy yechimi" ixtiyoriy oʻzgarmaslarga emas, balki ixtiyoriy funksiyalarga bogʻliq boʻladi; umuman, bu ixtiyoriy funksiyalarning soni differensial tenglamaning tartibiga teng; ularning erkli oʻzgaruvchilari soni esa izlanayotgan yechim oʻzgaruvchilari sonidan bitta kam boʻladi. Bir nomaʼlumli 1-tartibli xususiy hosilali Differensial tenglamani yechish oddiy differensial tenglama sistemasini yechishga olib keladi. Tartibi birdan yuqori boʻlgan xususiy hosilali differensial tenglama nazariyasida Koshi masalasi bilan bir katorda turli chegaraviy masalalar tekshiriladi.

6. NYUTON-LEYBNIS FORMULASI
Aniq integrallarni integral yig’indining limiti sifatida bevosita hisoblash ko’p hollarda juda qiyin, uzoq hisoblashlarni talab qiladi va amalda juda kam qo’llaniladi. Aniq integralni hisoblash uchun Nyuton-Leybnis formulasini kash etilishi aniqintegralni qo’llanish ko’lamini kengayishiga asosiy sabab bo’ldi.
2-teorema. Agar F(x) funksiya uzluksiz f(x) funksiyaning [a,b] kesmadagi boshlangich funksiyasi bo’lsa, u holda aniq integral boshlang’ich funksiyaning integrallash oralig’idagi orttirmasiga teng, ya’ni
tenglik aniq integralni hisoblashning asosiy formulasi yoki Nyuton-Leybnis formulasi deyiladi.