Qarshi 2023 Mavzu: Differensial tenglamalarni qatorlar yordamida taqribiy yechish

Bir qator yordamida taxminan DE yechimini qanday topish mumkin?

Seriyalar nazariyasining amaliy qo'llanilishini o'rganishni davom ettirib, nomini sarlavhada ko'rgan yana bir keng tarqalgan muammoni ko'rib chiqing. Va dars paytida o'zingizni maysazor kabi his qilmaslik uchun, keling, vazifaning mohiyatini darhol tushunaylik. Uchta savol va uchta javob:
Nimani topish kerak? Differensial tenglamaning xususiy yechimi... Chiziqlar orasidagi ishora hozirda hech bo'lmaganda nima ekanligini tushunish kerakligini pichirlaydi differensial tenglama va uning yechimi nima.
QANDAY bu yechim shart bo'yicha talab qilinadi? Taxminan - ketma-ketlikdan foydalanish.
Va uchinchi mantiqiy savol: nega taxminan? Men bu savolni darsda allaqachon yoritganman. Eyler va Runge-Kutta usullari, ammo takrorlash zarar qilmaydi. Aniq bo'lish, eng oddiyga qaytish differensial tenglama... Diffuzlar bo'yicha birinchi ma'ruza jarayonida biz uning umumiy yechimini (ko'rsatkichlar to'plamini) va boshlang'ich shartga mos keladigan alohida yechimni topdik. Funksiya grafigi eng keng tarqalgan chiziq bo'lib, uni chizmaga chizish oson.
Ammo bu oddiy holat. Amalda analitik tarzda aniq yechilmaydigan juda ko'p turli xil differentsial tenglamalar mavjud (hech bo'lmaganda bugungi kunda ma'lum usullar bilan). Boshqacha qilib aytganda, bunday tenglama qanday aylantirilmasin, uni integrallash mumkin bo'lmaydi. Tushunish esa shu umumiy yechim (tekislikdagi chiziqlar oilasi) mavjud bo'lishi mumkin... Va keyin hisoblash matematikasi usullari yordamga keladi.
Biz quvonchimizni kutib olamiz!
Oddiy vazifa quyidagicha tuzilgan:
… dastlabki shartni qondirish, uchta shaklida (kamroq - to'rtdan beshgacha) nol bo'lmagan a'zolar Teylor seriyasi.
Kerakli maxsus yechim taniqli formula bo'yicha ushbu seriyaga ajratiladi:
Yagona narsa shundaki, "ff" harfi o'rniga "igrek" ishlatiladi (shunday bo'ldi).
G'oya va ma'no ham tanish: ba'zi diffuzlar uchun va ba'zi sharoitlarda (biz nazariyaga kirmaymiz) tuzilgan kuch qatorlari yaqinlashadi kerakli maxsus yechimga. Ya'ni, qatorning qancha a'zolarini ko'rib chiqsak, mos keladigan ko'phadning grafigi funksiya grafigini shunchalik aniqroq qiladi.
Shuni ta'kidlash kerakki, yuqoridagilar eng oddiy holatlarga ham tegishli. Keling, xuddi shu qozonda oddiy bolalar tadqiqotini o'tkazamiz:
1-misol
Teylor qatorining nolga teng boʻlmagan birinchi toʻrt hadi koʻrinishidagi boshlangʻich shartni qanoatlantiruvchi differensial tenglamaning taqribiy qisman yechimini toping.