Qarshi 2023 Mavzu: Differensial tenglamalarni qatorlar yordamida taqribiy yechish

Yechim: bu masala sharoitida, shuning uchun umumiy Teylor formulasi maxsus holatga aylanadi Maklaurin seriyasining kengayishi:
Biroz oldinga yugurib, shuni aytamanki, bu yanada ixcham seriya amaliy vazifalarda ancha keng tarqalgan.
Ikkala ishlaydigan formulani qo'llanmangizga yozib oling.
Keling, qadriyatlar bilan shug'ullanaylik. Yechim bosqichlarini raqamlash qulay:
0) Nolinchi bosqichda har doim shartdan ma'lum bo'lgan qiymatni yozing. Daftarda nuqtalarning yakuniy natijalarini ular aniq ko'rinadigan va eritmada yo'qolib qolmasligi uchun doira ichiga olish tavsiya etiladi. Texnik sabablarga ko'ra, ularni qalin qilib ajratib ko'rsatish men uchun qulayroqdir. Bundan tashqari, bu qiymat nolga teng emasligini unutmang! Axir, shartga ko'ra, siz to'rttasini topishingiz kerak nolga teng bo'lmagan qator a'zolari.
1) Keling, hisoblaylik. Buning uchun biz "o'yin" o'rniga dastlabki tenglamaning o'ng tomoniga ma'lum qiymatni almashtiramiz:
2) Keling, hisoblaymiz. Avval topamiz ikkinchi hosila:
O'ng tomonda oldingi paragrafda topilgan qiymatni almashtiramiz:
Bizning ixtiyorimizda uchta nolga teng bo'lmagan kengaytirish shartlari mavjud, bizga yana bitta kerak:
2-misol
Differensial tenglamaning taqribiy xususiy yechimini toping  Teylor qatorining nolga teng bo'lmagan dastlabki uchta hadi ko'rinishidagi boshlang'ich shartni qondirish.
Yechim standart ibora bilan boshlanadi:
Shunday qilib, bu muammoda:
Endi biz ketma-ket qiymatlarni topamiz - uchtagacha nolga teng bo'lmagan natija. Agar omadingiz bo'lsa, ular nolga teng bo'lmaydi  Minimal ish miqdori bilan ideal holat.
Biz qaror nuqtalarini kesib tashladik:
0) Shart bo'yicha. Mana birinchi muvaffaqiyat.
1) Keling, hisoblaylik. Birinchidan, biz birinchi hosilaga nisbatan asl tenglamani yechamiz, ya'ni ifodalaymiz  ... Keling, o'ng tomonda ma'lum qiymatlarni almashtiramiz:
Rulda qabul qilindi va bu yaxshi emas, chunki bizni qiziqtirmoqda nolga teng bo'lmagan qiymatlar. Biroq, nol - bir xil natija, biz aylana yoki boshqa yo'l bilan ta'kidlashni unutmang.
2) Ikkinchi hosilani toping va ma'lum qiymatlarni o'ng tomonga almashtiring:
Ikkinchisi nolga teng emas.
3) Topish - ikkinchi hosilaning hosilasi:
Umuman olganda, vazifa bir oz sholg'om haqidagi ertakni eslatadi, bobo, buvisi va nabirasi hasharot, mushuk va boshqalarni yordamga chaqiradi. Haqiqatan ham, har bir keyingi lotin o'zining "oldingi"lari orqali ifodalanadi.
Keling, o'ng tomonda ma'lum qiymatlarni almashtiramiz:
Uchinchi nolga teng bo'lmagan qiymat. Sholg'omni tortib oldi.
Biz formulamizdagi "qalin" raqamlarni ehtiyotkorlik bilan va ehtiyotkorlik bilan almashtiramiz:


Javob: muayyan yechimning talab qilinadigan taxminiy kengayishi: 
Ko'rib chiqilgan misolda ikkinchi o'rinda faqat bitta nol bor edi va bu unchalik yomon emas. Umumiy holatda, siz xohlagancha va istalgan joyda nol bo'lishi mumkin. Yakuniy bosqichda almashtirishlarda adashmaslik uchun ularni nolga teng bo'lmagan natijalar bilan birga ta'kidlash juda muhim.
Mana siz - simit birinchi bo'lib keladi:
3-misol
Teylor qatorining nolga teng bo‘lmagan dastlabki uchta hadi ko‘rinishidagi boshlang‘ich shartga mos keladigan differensial tenglamaning taqribiy qisman yechimini toping.
Dars oxirida topshiriqni loyihalashning taxminiy namunasi. Algoritmning nuqtalari raqamlanmasligi mumkin (masalan, qadamlar orasida bo'sh chiziqlar qoldirib), lekin men yangi boshlanuvchilarga qat'iy shablonga rioya qilishni maslahat beraman.
Ko'rib chiqilayotgan muammo ko'proq e'tiborni talab qiladi - agar siz biron bir qadamda xato qilsangiz, qolgan hamma narsa ham noto'g'ri bo'ladi! Shuning uchun, sizning aniq boshingiz soat kabi ishlashi kerak. Afsuski, bu emas integrallar yoki diffuziya, ular charchagan holatda ham ishonchli tarzda hal qilinadi, chunki ular samarali tekshirishga imkon beradi.
Amalda, bu juda keng tarqalgan Maklaurin seriyasining kengayishi:
4-misol