Qarshi 2023 Mavzu: Differensial tenglamalarni qatorlar yordamida taqribiy yechish

2.2 Integratsiyaga misollar

Tenglama Koshi muammosini boshlang'ich shart bilan hal qilishi kerak bo'lgan hollarda, echimni Teylor seriyasidan foydalanib izlash mumkin:

bu yerda va keyingi hosilalar asl tenglamani ketma-ket differensiallash va qiymatlar va barcha boshqa topilgan keyingi hosilalar o‘rniga differentsiallash natijasiga almashtirish yo‘li bilan topiladi. Xuddi shunday, Teylor seriyasidan foydalanib, yuqori tartibli tenglamalarni integrallash mumkin.
2.1-misol. Dastlabki oltita nolga teng bo'lmagan kengayish shartlarini olib, Teylor qatoridan foydalanib, tenglamani taxminan integrallang.
Dastlabki shartlar tenglamasidan topamiz  Ushbu tenglamani differensiallash orqali biz ketma-ket hosil qilamiz
Qiymatlarni o'rnatish va ulardan foydalanish  ketma-ket biz kerakli yechim shaklga ega ekanligini topamiz
2.2-misol. Birinchi to'rtta (noldan farqli) kengaytirish shartlarini toping. va
Topilgan qiymatlarni ketma-ket (2.3) ga almashtirib, belgilangan aniqlik bilan kerakli yechimni olamiz:

2.3 Mapleda integratsiyaga misollar

Maple’da differensial tenglamalarning analitik yechimlarini topish uchun dsolve (eq, var, options) buyrug‘idan foydalaning, bu yerda eq – differentsial tenglama, var – noma’lum funksiyalar, variantlar – parametrlar. Parametrlar muammoni hal qilish usulini ko'rsatishi mumkin, masalan, sukut bo'yicha analitik yechim qidiriladi: turi = aniq. Differensial tenglamalar tuzishda hosilani ko'rsatish uchun diff buyrug'idan foydalaniladi, masalan, differentsial tenglama quyidagicha yoziladi: diff (y (x), x $ 2) + y (x) = x.
Differensial tenglamaning taqribiy yechimini quvvat qatori ko‘rinishida topish uchun dsolve buyrug‘ida o‘zgaruvchilardan keyin type = series (yoki oddiygina qator) parametrini ko‘rsating. Parchalanish tartibini ko'rsatish uchun, ya'ni. dekompozitsiyaning bajarilish darajasi tartibi, Order: = n buyrug'i yordamida dsolve buyrug'idan oldin tartib ta'rifini kiriting.
Agar differensial tenglamaning umumiy yechimi kuch qatorida kengayish shaklida qidirilsa, topilgan kengayish darajalaridagi koeffitsientlar nolga teng bo'lgan funktsiyaning noma'lum qiymatlarini va uning hosilalarini va hokazolarni o'z ichiga oladi. Chiqish chizig'ida olingan ifoda Maclaurin seriyasida kerakli eritmaning kengayishiga o'xshash shaklga ega bo'ladi, lekin kuchlarda turli koeffitsientlarga ega. Muayyan yechimni tanlash uchun boshlang'ich shartlarni va hokazolarni belgilash kerak va bu boshlang'ich shartlar soni mos keladigan differensial tenglamaning tartibiga to'g'ri kelishi kerak.
Quvvat seriyasini kengaytirish seriya turiga kiradi, shuning uchun ushbu seriya bilan keyingi ishlash uchun uni aylantirish (%, polinom) buyrug'i yordamida polinomga aylantirish kerak, so'ngra rhs (%) bilan hosil bo'lgan ifodaning o'ng tomonini tanlang. ) buyrug'i.
> shart: = y (0) = 1, D (y) (0) = 1, ( D@@ 2) (y) (0) = 1;
> dsolve ((de, cond), y (x));
> y1: = rhs (%):
> dsolve ((de, cond), y (x), qator);
Eslatma: ketma-ket ko'rinishdagi differensial tenglamaning yechim turi ketma-ket, shuning uchun bunday yechimdan keyingi foydalanish (hisoblash yoki chizma) uchun uni aylantirish buyrug'i yordamida polinomga aylantirish kerak.
differensial tenglamalar qatori darajasi
> aylantirish (%, polinom): y2: = rhs (%):
> p1: = chizma (y1, x = -3..3, qalinligi = 2, rang = qora):
> p2: = chizma (y2, x = -3..3, chiziq uslubi = 3, qalinligi = 2, rang = qora):
> bilan (syujetlar): displey (p1, p2);
2-rasm shuni ko'rsatadiki, kuch seriyasi bo'yicha aniq yechimning eng yaxshi yaqinlashishi taxminan intervalda erishiladi.

2-rasm
XULOSA
Kurs ishida qo'yilgan maqsadlar to'liq amalga oshirildi, quyidagi vazifalar hal qilindi:
Seriya va differensial tenglamalar bilan bog'liq asosiy tushunchalar aniqlanadi.
Differensial tenglamalarni darajali qatorlar yordamida integrallash usuli ko'rib chiqiladi.
Ushbu mavzu bo'yicha vazifalar hal qilindi.
Ushbu kurs ishida o‘quv materiali o‘rganilib, talabalar tomonidan differensial tenglamalarni darajali qatorlar yordamida integrallash usulini mustaqil o‘rganish jarayonida foydalanish uchun tizimlashtiriladi. Seriya va differensial tenglamalar tushunchalari ko'rib chiqiladi. Taxminiy hisob-kitoblar seriyalar yordamida amalga oshiriladi.
Ishdan texnik va matematika mutaxassisliklari talabalari uchun o'quv qo'llanma sifatida foydalanish mumkin.
Ushbu ish natijalari keyingi tadqiqotlar uchun asos bo'lib xizmat qilishi mumkin.
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR RO‘YXATI
1 Tricomi F. Differensial tenglamalar. Ingliz tilidan tarjima. - M .: Bukinist, 2003 .-- 352 b.
Vlasova B. A., Zarubin B. C., Kuvyrkin G. N. Matematik fizikaning taxminiy usullari: Universitetlar uchun darslik. - M .: MSTU im. nashriyoti. N.E.Bauman, 2001 .-- 700 b.
Budak B.M., Fomin S.V., Ko'p integrallar va qatorlar. - M .: Fizmatlit, 2002 .-- 512 b.
Demidovich BP Matematik tahlil bo'yicha masalalar va mashqlar to'plami. - M .: Moskva nashriyoti. CheRo universiteti, 2000 yil. - 624 b.
Krasnov ML, Kiselev AI, Makarenko GI va boshqalar Barcha oliy matematika: Darslik. T. 3. - M .: URSS tahririyati nashriyoti, 2005 .-- 240 b.
Yablonskiy A.I., Kuznetsov A.V., Shilkina E.I. va boshqalar Oliy matematika: Umumiy kurs: Darslik. - M .: Yuqori. shk., 2000.- 351 b.
Malaxov A.N., Maksyukov N.I., Nikishkin V.A. Oliy matematika. - M .: EAOI, 2008 .-- 315 b.
Markov L.N., Razmyslovich G.P. Oliy matematika. 2-qism. Matematik analiz asoslari va differentsial tenglamalar elementlari. - M .: Amalfeya, 2003 .-- 352 b.
Agafonov S.A., nemis A.D., Muratova T.V. Differensial tenglamalar. - M .: MSTU im. nashriyoti. N.E. Bauman, 2004 .-- 352 b.
E. A. Koddington va N. Levinson, oddiy differensial tenglamalar nazariyasi. - M .: Amalfeya, 2001 .-- 475 b.
Fikhtengolts GM Differensial va integral hisoblash kursi. T. 2. - M .: Fizmatlit, 2001 .-- 810 b.
Kuchli qatorlar yordamida differensial tenglamalarni integrallash mumkin.
Quyidagi shakldagi chiziqli differentsial tenglamani ko'rib chiqing:
Agar barcha koeffitsientlar va bu tenglamaning o'ng tomoni ma'lum bir oraliqda yaqinlashuvchi darajali qatorlarga kengayib ketsa, u holda bu tenglamaning nol nuqtasining qandaydir kichik qo'shnisida boshlang'ich shartlarni qondiradigan yechim mavjud.
Ushbu yechim quvvat seriyasi bilan ifodalanishi mumkin:
Yechim topish uchun noma'lum konstantalarni aniqlash qoladi c i .
Bu vazifa hal qilinmoqda aniqlanmagan koeffitsientlarni solishtirish orqali... Biz kerakli funktsiyaning yozma ifodasini asl differensial tenglamaga almashtiramiz, darajali qatorlar bilan barcha kerakli operatsiyalarni bajaramiz (farqlash, qo'shish, ayirish, ko'paytirish va boshqalar).
Keyin koeffitsientlarni bir xil darajalarda tenglashtiramiz NS tenglamaning chap va o'ng tomonlarida. Natijada, dastlabki shartlarni hisobga olgan holda, biz tenglamalar tizimini olamiz, undan koeffitsientlarni ketma-ket aniqlaymiz. c i .
E'tibor bering, bu usul chiziqli bo'lmagan differentsial tenglamalarga ham tegishli.
Misol. Tenglamaning yechimini toping
dastlabki shartlar bilan y(0)=1, y’(0)=0.
Tenglamaning yechimini shaklda izlaymiz

Olingan ifodalarni asl tenglamaga almashtiramiz:
Bu erdan biz olamiz:


………………
Biz boshlang'ich shartlarni kerakli funktsiya va uning birinchi hosilasi uchun iboralarga almashtirish orqali olamiz:

Biz nihoyat olamiz:

Jami:

Differensial tenglamalarni qatorlar yordamida yechishning yana bir usuli mavjud. Bu nomga ega ketma-ket farqlash usuli.
Keling, xuddi shu misolni ko'rib chiqaylik. Differensial tenglamaning yechimini Maklaurin qatorida noma’lum funksiyani kengaytirish ko‘rinishida izlaymiz.
Agar berilgan dastlabki shartlar y(0)=1, y’(0)=0 asl differensial tenglamaga almashtirilsa, biz buni olamiz

Keyinchalik, differentsial tenglamani shaklda yozamiz
va biz uni bo'yicha ketma-ket farqlaymiz NS.

Olingan qiymatlarni almashtirgandan so'ng biz quyidagilarni olamiz:

Koshi mezoni.

(ketmalarning yaqinlashishi uchun zarur va etarli shartlar)
Muvofiqlik uchun
konverging, bu har qanday uchun zarur va etarli
shunday raqam bor ediNbu dan > Nva har qandayp> 0, bu erda p butun son bo'lsa, quyidagi tengsizlik amal qiladi:
.
Isbot. (kerak)
Bo'lsin
, keyin istalgan raqam uchun
 tengsizlik bo'ladigan N soni mavjud
n> N uchun amal qiladi. n> N va har qanday p> 0 butun soni uchun tengsizlik
... Ikkala tengsizlikni hisobga olsak, biz quyidagilarni olamiz:
Zarurligi isbotlangan. Biz etarlilik isbotini ko'rib chiqmaymiz.
Keling, seriya uchun Koshi mezonini tuzamiz.
Raqam olish uchun
konversiya har qanday uchun zarur va yetarlidir
raqam bor ediNuchunn> Nva har qandayp> 0 tengsizlik
.
Biroq, amalda, Koshi mezonidan bevosita foydalanish juda qulay emas. Shuning uchun, qoida tariqasida, oddiyroq konvergentsiya mezonlari qo'llaniladi:
Natija. Agar f(x) va  (NS)- (a, b] oraliqdagi uzluksiz funksiyalar va
keyin integrallar
va
yaqinlashish ma'nosida ham xuddi shunday yo'l tutadi.