Qarshi 2023 Mavzu: Differensial tenglamalarni qatorlar yordamida taqribiy yechish

1. SERIAL VA DIFFERENTSIAL TENGLAMALARGA BAG'LI ASOSIY TUSHUNCHALAR

1.1 qatorlar. Asosiy tushunchalar. Konvergentsiya uchun zaruriy mezon

Matematik ilovalarda, shuningdek, iqtisod, statistika va boshqa sohalardagi ba'zi masalalarni yechishda cheksiz miqdordagi atamalar bilan yig'indilar ko'rib chiqiladi. Bu erda biz bunday miqdorlar nimani anglatishini ta'riflaymiz.
Cheksiz sonlar ketma-ketligi berilsin. Raqamli qator yoki oddiy qator shaklning ifodasi (yig'indisi).
,(1.1)
sonlar qator a'zolari deb ataladi, - qatorning umumiy yoki n-a'zosi.
(1.1) qatorni aniqlash uchun qatorning n-haddini uning soni bo‘yicha hisoblash uchun natural argument funksiyasini ko‘rsatish kifoya.
1.1-misol. Bo'lsin. Qator
(1.2)
garmonik qator deb ataladi.
(1.1) qator shartlaridan biz qisman yig'indilarning sonli ketma-ketligini hosil qilamiz  qayerda  - qatorning birinchi a'zolari yig'indisi, u n-chi qismli yig'indi deb ataladi, ya'ni.
(1.3)
Raqamli ketma-ketlik  sonining cheksiz ko'payishi bilan u:
) chegaralangan chegaraga ega;
) chekli chegaraga ega emas (chegara mavjud emas yoki cheksizlikka teng).
(1.1) qator, agar uning qisman yig'indilari ketma-ketligi (1.3) chekli chegaraga ega bo'lsa, konvergent deyiladi, ya'ni
Bunda raqam (1.1) qator yig'indisi deb ataladi va yoziladi
Agar uning qisman yig'indilari ketma-ketligi chekli chegaraga ega bo'lmasa (1.1) qator divergent deb ataladi. Divergent qatorga hech qanday miqdor belgilanmaydi.
Shunday qilib, yaqinlashuvchi qatorlar yig'indisini topish masalasi (1.1) uning qisman yig'indilari ketma-ketligi chegarasini hisoblash bilan tengdir.
Teoremaning isboti shundan kelib chiqadi  , va agar
S - (1.1) qatorlar yig'indisi, keyin
Shart (1.4) qatorning yaqinlashuvi uchun zarur, lekin etarli bo'lmagan shartdir. Ya'ni, agar qatorning umumiy atamasi nolga moyil bo'lsa, unda bu qator yaqinlashadi degani emas. Masalan, garmonik qator uchun (1.2)

ammo, u farq qiladi.
Xulosa (qatorning ajralishining yetarli mezoni): agar qatorning umumiy hadi at nolga moyil bo'lmasa, bu qator ajralib chiqadi.
1.2-misol. Seriyalarning yaqinlashuvini o‘rganing

Bu seriya uchun, shuning uchun, bu seriya farq qiladi.