Qarshi 2023 Mavzu: Differensial tenglamalarni qatorlar yordamida taqribiy yechish

1.1. Chiziqli differensial tenglama tushunchasin-chi tartib
Agar y, y ',…, y (n) qiymatlari yig'indisiga nisbatan birinchi darajali bo'lsa, n-darajali differentsial tenglama chiziqli deb ataladi. Shunday qilib, n-darajali chiziqli differensial tenglama quyidagi ko'rinishga ega:
Bu erda x ning ma'lum uzluksiz funktsiyalari.
Bu tenglama bir jinsli bo'lmagan chiziqli tenglama yoki o'ng tomoni bo'lgan tenglama deyiladi. Agar tenglamaning o'ng tomoni bir xil nolga teng bo'lsa, chiziqli tenglama bir jinsli chiziqli differensial tenglama deb ataladi va quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi.
Agar n 2 ga teng bo'lsa, biz ikkinchi tartibli chiziqli tenglamani olamiz, u shunday yoziladi n-tartibli chiziqli tenglama, ikkinchi tartibli tenglama bir hil () va bir jinsli bo'lishi mumkin.

1. 
   Differensial tenglamalarni qatorlar yordamida integrallash.
   

Oʻzgaruvchan koeffitsientli birinchi tartibdan yuqori boʻlgan oddiy differensial tenglamaning yechimlari har doim ham elementar funksiyalar koʻrinishida ifodalanavermaydi va bunday tenglamaning integrasiyasi kamdan-kam hollarda kvadratlarga keltiriladi.
2.1. Differensial tenglamalarni darajali qatorlar yordamida integrallash.
Ushbu tenglamalarni integrallashning eng keng tarqalgan usuli kerakli yechimni kuch qatori shaklida ifodalashdir. O'zgaruvchan koeffitsientli ikkinchi tartibli tenglamalarni ko'rib chiqing
Izoh 1. Funktsiyalarning etarlicha keng sinfi sifatida ifodalanishi mumkin
qayerda, ba'zi konstantalar. Bu ifoda kuch qatori deyiladi. Agar uning qiymatlari har qanday x oraliqdagi funktsiyaning mos qiymatlariga teng bo'lsa (x 0 - T; x 0 + T), unda bunday qator bu oraliqda yaqinlashish deb ataladi.
Faraz qilaylik, a (x), b (x) funksiyalar (2.1) tenglamaning (x 0 - T; x 0 + T), T> 0 oraliqdagi analitik funksiyalari, ya'ni. quvvat qatorlariga ajrating:
Quyidagi teorema o'rinli (isbotni qoldirmasdan, biz faqat uning formulasini keltiramiz).
Teorema_1. Agar a (x), b (x) funksiyalar (2.2) ko'rinishga ega bo'lsa, u holda oddiy differensial tenglamaning (2.1) istalgan y (x) yechimini |x - x 0 | uchun yaqinlashuvchi sifatida tasvirlash mumkin.< Т степенного ряда:
Bu teorema yechimni darajalar qatori shaklida ifodalash imkonini beribgina qolmay, eng muhimi (2.3) qatorlarning yaqinlashuvini asoslaydi.
Bunday taqdimotning algoritmi quyidagicha. Qulaylik uchun (2.2) va (2.3) ga x 0 = 0 ni qo'yamiz va oddiy differensial tenglamaning (2.1) yechimini ko'rinishda qidiramiz.
(2.4) ni (2.1) ga almashtirib, tenglikka erishamiz
(2.5) ni bajarish uchun x ning har bir darajasidagi koeffitsient nolga teng bo'lishi kerak. Bu shartdan chiziqli algebraik tenglamalarning cheksiz sistemasini olamiz
………………………………………….
…………………………………………………………………. .
Olingan cheksiz chiziqli algebraik tenglamalar tizimidan ketma-ket, ... topish mumkin, agar qiymatlar va o'rnatilgan bo'lsa (oddiy differensial tenglama (2.1) uchun Koshi masalasida), boshlang'ich shartlarni kiritish mumkin =, =).
Agar a (x), b (x) funktsiyalari ratsional bo'lsa, ya'ni. , b, bu yerda ko‘phadlar, u holda nuqtalar yaqinida yoki, darajali qator ko‘rinishidagi yechim mavjud bo‘lmasligi mumkin, agar mavjud bo‘lsa, x = 0 nuqtadan tashqari hamma joyda ajralishi mumkin. Bu holat birinchi tartibli tenglamani ko'rib chiqqan L. Eylerga allaqachon ma'lum edi
Bu tenglama kuch qatori bilan qanoatlantiriladi
Biroq, bu ketma-ketlik har kim uchun farq qilishini ko'rish qiyin emas. Oddiy differentsial tenglamaning divergent darajali qator ko'rinishidagi yechimi formal deyiladi.
Ushbu integratsiya usulini qo'llashning eng yorqin va tushunarli misollaridan biri bu Airy tenglamasi yoki
Bu tenglamaning barcha yechimlari x ning butun funksiyalaridir. Keyin Airy tenglamasining yechimi darajalar qatori (2.4) shaklida izlanadi. Keyin tenglik (2.5) shaklni oladi
X ning har bir darajasidagi koeffitsientni nolga tenglashtiramiz. Bizda ... bor
……………………………
X ning nol darajasidagi koeffitsient 2y 2 ga teng. Demak, y 2 = 0. Keyin koeffitsientning nolga tengligidan = topamiz. Koeffitsient teng. Bu yerdan.
Ushbu formuladan biz olamiz
Koeffitsientlar va aniqlanmagan. Yechimlarning asosiy tizimini topish uchun avval = 1, = 0 ni o'rnatamiz, keyin esa aksincha. Birinchi holda, bizda bor
va ikkinchisida
Teorema_1 asosida bu qatorlar hamma joyda haqiqiy chiziqqa yaqinlashadi.
Funktsiyalar va Airy funktsiyalari deb ataladi. X ning katta qiymatlari uchun ushbu funktsiyalarning asimptotik harakati quyidagi formulalar bilan tavsiflanadi va.
Ushbu funktsiyalarning grafiklari rasmda ko'rsatilgan. 2.1. Biz aniqlaymizki, x ning cheksiz ortishi bilan, Airy tenglamasining har qanday yechimining nollari cheksiz yaqinlashadi, bu ushbu echimlarning asimptotik tasviridan ham ko'rinadi, ammo bu Airy funksiyalarining 2009-2010-yillarda ifodalanishidan umuman ko'rinmaydi. yaqinlashuvchi darajali qatorlar shakli. Demak, bundan kelib chiqadiki, oddiy differensial tenglamaning yechimini ketma-ketlik yordamida topish usuli, umuman olganda, amaliy masalalarni yechishda unchalik qo'llanilmaydi va yechimning ketma-ket ko'rinishida tasvirlanishining o'zi ham ketma-ketlik tahlilini murakkablashtiradi. olingan eritmaning sifat xossalari.