1.1
Quvvat seriyalari funksional qatorlarning alohida holatidir.
Kuchli qator shaklning funksional qatori deyiladi
bu erda - quvvat seriyasining koeffitsientlari deb ataladigan doimiy haqiqiy sonlar;
Ba'zi doimiy raqam;
Haqiqiy sonlar to'plamidan qiymatlarni oladigan o'zgaruvchi.
Chunki, quvvat seriyasi (1.5) shaklni oladi
(1.6)
(1,5) darajalar qatori (1,6) darajalar qatori deyiladi - darajalar qatori Agar o'zgaruvchiga biron bir qiymat berilsa, u holda (1,5) (yoki (1,6)) darajalar qatori sonlar qatoriga aylanadi. yaqinlashishi yoki ajralishi mumkin.
Quvvat seriyasining yaqinlashuv sohasi - bu darajalar qatori yaqinlashadigan qiymatlar to'plami.
1.2 teorema (Abel teoremasi): agar darajali qator (1.6) uchun yaqinlashsa, u tengsizlikni qanoatlantiradigan barcha qiymatlar uchun mutlaqo yaqinlashadi, lekin agar (1.6) qator uchun farqlansa, u tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha qiymatlar uchun ajralib chiqadi.
Abel teoremasi darajalar qatorining yaqinlashish sohasi tuzilishi haqida aniq tasavvur beradi.
1.3 teorema: (1.6) darajali qatorning yaqinlashish sohasi quyidagi intervallardan biriga to'g'ri keladi:
) ; 2) ; 3) ; 4) ,
qayerda qandaydir manfiy bo'lmagan haqiqiy son yoki
Raqam yaqinlashish radiusi deb ataladi, oraliq kuch seriyasining yaqinlashuv oralig'i deb ataladi (1.6).
Agar konvergentsiya oralig'i butun son o'qi bo'lsa
Agar u holda konvergentsiya oralig'i nuqtaga aylanadi
Izoh: agar (1.2) darajali qator uchun yaqinlashish oralig'i bo'lsa, u holda - darajalar qatori uchun yaqinlashish oralig'i (1.5).
1.3-teoremadan kelib chiqadiki, (1.6) darajali qatorning yaqinlashish mintaqasini amaliy aniqlash uchun uning yaqinlashish radiusini topish va bu qatorning yaqinlashish oralig'i oxiridagi yaqinlashuvi haqidagi savolga aniqlik kiritish kifoya, ya'ni da va
Kuchli qatorning yaqinlashuv radiusini quyidagi formulalardan biri yordamida topish mumkin:
d'Alember formulasi:
Koshi formulasi:
1.3-misol. Darajalar qatorining yaqinlashish radiusi, yaqinlashish oralig‘i va yaqinlashuv mintaqasini toping.
Ushbu qatorning yaqinlashish radiusini formula bo'yicha toping
Bizning holatda
Binobarin, bu qatorning yaqinlashish oralig'i shaklga ega
Keling, yaqinlashuv oralig'ining oxiridagi qatorlarning yaqinlashuvini tekshiramiz.
garmonik qator sifatida ajralib chiqadi.
Quvvat qatori sonlar qatoriga aylanganda
.
Bu muqobil qator bo'lib, uning shartlari mutlaq qiymatda kamayadi va
Binobarin, Leybnits mezoniga ko'ra, bu sonlar qatori yaqinlashadi.
Shunday qilib, interval berilgan darajalar qatorining yaqinlashish mintaqasidir.
Quvvat seriyasi (1.6) konvergentsiya oralig'ida aniqlangan funksiya, ya'ni.
Funktsiyaning ba'zi xususiyatlari
Xususiyat 1. Funktsiya yaqinlashuv oralig'iga tegishli bo'lgan har qanday segmentda uzluksizdir
2 xossa. Funksiya oraliqda differensiallanadi va uning hosilasi (1.6) qatorning had bo’yicha differentsiallanishini topish mumkin, ya’ni
Barcha uchun
Xossa 3. Funksiyaning hamma uchun noaniq integralini (1.6) qatorlarni had bo’yicha integrallash yo’li bilan olish mumkin, ya’ni.
Barcha uchun
Shuni ta'kidlash kerakki, hadlar bo'yicha differensiallanish va darajalar qatorining integrasiyasi bilan uning yaqinlashuv radiusi o'zgarmaydi, lekin intervalning oxiridagi yaqinlashishi o'zgarishi mumkin.
Yuqoridagi xususiyatlar quvvat seriyasi (1.5) uchun ham amal qiladi.
1.4-misol. Quvvat seriyasini ko'rib chiqing
1.3-misolda ko'rsatilganidek, bu qatorning yaqinlashish mintaqasi intervaldir
Keling, ushbu turkum atamasini atama bo'yicha farqlaylik:
(1.7)
Keling, konvergentsiya oralig'i oxirida ushbu qatorning harakatini tekshiramiz.
Kerakli yaqinlashuv mezoni bajarilmaganligi sababli, bu sonli qator farqlanadi
qaysi mavjud emas.
Chunki, quvvat seriyasi (1.7) sonlar qatoriga aylanadi
bu ham bir-biridan farq qiladi, chunki zaruriy yaqinlashuv mezoni qondirilmaydi.
Binobarin, dastlabki darajali qatorlarni muddat bo'yicha differensiallash yo'li bilan olingan quvvat qatorlarining yaqinlashuv mintaqasi o'zgardi va intervalga to'g'ri keladi.
Do'stlaringiz bilan baham: |
