Qarshi 2023 Mavzu: Differensial tenglamalarni qatorlar yordamida taqribiy yechish

2. DIFFERENTSIAL TENGLAMALARNI INTEGRASSIYADA KUCH QARSIYASIDAN FOYDALANISHGA NAMALLAR.

Havo tenglamasi
Havo tenglamasi yechimi
kuch qatori shaklida izlaymiz (1.15). Keyin tenglik (1.16) shaklni oladi

at koeffitsienti teng Shunday qilib, at koeffitsientining tengligidan nolga teng bo'lgan koeffitsientni topamiz.  Bu yerdan 
Ushbu formuladan biz olamiz

Xuddi shunday, biz topamiz

Koeffitsientlar va aniqlanmagan. Yechimlarning asosiy tizimini topish uchun biz birinchi navbatda qo'yamiz  keyin esa aksincha. Birinchi holda, bizda bor

va ikkinchisida

1.5 teoremasiga ko'ra, bu qatorlar raqamlar chizig'ining hamma joyida birlashadi
Funktsiyalar Airy funktsiyalari deb ataladi. Katta qiymatlar uchun bu funksiyalarning asimptotik harakati formulalar bilan tavsiflanadi
Bu funksiyalarning grafiklari 1-rasmda keltirilgan.

1-rasm
Cheksiz o'sish bilan, Airy tenglamasining har qanday yechimining nollari cheksiz yaqinlashadi, buni ushbu echimlarning asimptotik tasviridan ko'rish mumkin, ammo Airy funktsiyalarining yaqinlashuvchi kuchlar qatori ko'rinishida ifodalanishidan umuman ko'rinmaydi. . Demak, bundan kelib chiqadiki, ketma-ketlik yordamida ODE yechimini izlash usuli, umuman olganda, amaliy masalalarni yechishda unchalik qo‘llanilmaydi va yechimning ketma-ket ko‘rinishida ifodalanishining o‘zi sifat jihatidan tahlilni murakkablashtiradi. Olingan eritmaning xossalari.

2.1 Bessel tenglamasi

O'zgaruvchan koeffitsientli chiziqli differensial tenglama shaklga ega
Bessel tenglamasi deyiladi.
(2.1) tenglamaning yechimi umumlashtirilgan quvvat qatori shaklida izlanadi, ya'ni. dasht qatoridagi ma'lum darajada mahsulotlar:
(2.2)
Umumlashtirilgan quvvat qatorini (2.1) tenglamaga qo'yib, tenglamaning chap tomonidagi har bir quvvatning koeffitsientlarini nolga tenglashtirib, biz tizimni olamiz.

Berilgan sistemadan biz sistemaning ikkinchi tenglamasidan Let Keyin ni topamiz va 3,5,7, ... qiymatlarni beradigan tenglamadan topishimizni hisobga olib, biz juft sonli koeffitsientlar uchun ifodalarni olamiz degan xulosaga kelamiz.
Topilgan koeffitsientlarni ketma-ket (2.2) ga almashtirib, yechimni olamiz

bu erda koeffitsient o'zboshimchalik bilan qoladi.
At, barcha koeffitsientlar xuddi butun songa teng bo'lmagan hollardagina aniqlanadi. Keyin oldingi yechimdagi qiymatni quyidagi bilan almashtirish orqali yechim olinishi mumkin:

Natijada paydo bo'lgan quvvat seriyalari barcha qiymatlar uchun birlashadi, bu d'Alembert mezoni asosida osongina o'rnatiladi. Yechimlar va chiziqli mustaqildir, chunki ularning munosabatlari doimiy emas.
Eritma doimiyga ko'paytiriladi  birinchi turdagi tartibli Bessel funktsiyasi (yoki silindrsimon funktsiya) deb ataladi va belgisi bilan belgilanadi Yechim belgilanadi
Konstantani umumiy qabul qilingan tanlashda gamma funksiyasi ishtirok etadi, u noto'g'ri integral bilan aniqlanadi:

Binobarin, (2.1) tenglamaning umumiy yechimi butun songa teng bo'lmaganda, va ixtiyoriy doimiylar ko'rinishiga ega bo'ladi.