Qarshi 2023 Mavzu: Differensial tenglamalarni qatorlar yordamida taqribiy yechish

1.5 Differensial tenglamalarni qatorlar yordamida integrallash

Umumiy holatda birinchi tartibli oddiy differensial tenglamaning (ODE) aniq yechimini uni integrallash orqali topish mumkin emas. Bundan tashqari, bu ODE tizimi uchun amalga oshirilmaydi. Ushbu holat ODE va ​​ularning tizimlarini echishning ko'plab taxminiy usullarini yaratishga olib keldi. Taxminiy usullar orasida uchta guruhni ajratish mumkin: analitik, grafik va raqamli. Albatta, bunday tasnif ma'lum darajada o'zboshimchalikdir. Masalan, differensial tenglamani sonli yechish usullaridan biri negizida Eyler siniq chiziqlarining grafik usuli yotadi.
Quvvat seriyalaridan foydalangan holda ODElarni integratsiyalash, qoida tariqasida, kamida ikkinchi darajali chiziqli tenglamalarga qo'llaniladigan taxminiy analitik usuldir. Oddiylik uchun biz o'zgaruvchan koeffitsientli chiziqli bir hil ikkinchi darajali ODEni ko'rib chiqish bilan cheklanamiz.
(1.12)
Eslatma: juda keng funktsiyalar sinfi sifatida ifodalanishi mumkin

ba'zi konstantalar qayerda. Bu ifoda kuch qatori deyiladi.
Faraz qilaylik, funksiyalarni intervalda yaqinlashuvchi qatorlarga kengaytirish mumkin:
Quyidagi teorema o'rinli (isbotni qoldirmasdan, biz faqat uning formulasini keltiramiz).
1.5 teorema: agar funktsiyalar (1.13) ko'rinishda bo'lsa, u holda ODE (1.12) ning har qanday yechimini yaqinlashuvchi darajalar qatori sifatida ko'rsatish mumkin:
(1.14)
Bu teorema yechimni darajalar qatori ko’rinishida ifodalash imkonini beribgina qolmay, balki, eng muhimi, (1.14) qatorning yaqinlashuvini asoslaydi. Oddiylik uchun biz (1.13) va (1.14) ni qo'yamiz va ODE (1.12) ning echimini shaklda qidiramiz.
(1.15)
(1.15) ni (1.12) ga almashtirib, tenglikka erishamiz
(1.16) ni bajarish uchun har bir darajadagi koeffitsient nolga teng bo'lishi kerak.
Bu shartdan chiziqli algebraik tenglamalarning cheksiz sistemasini olamiz

Agar biz qiymatlarni o'rnatgan bo'lsak, ketma-ket topish mumkin va (ODE uchun Koshi muammosi (1.12) bo'lsa, ular dastlabki shartlarga kiritilgan)  ).
Funktsiyalar oqilona bo'lsa, ya'ni.

ko'phadlar qayerda bo'lsa, u holda darajalar qatori ko'rinishidagi yechim mavjud bo'lmasligi mumkin bo'lgan nuqtalar yaqinida va agar mavjud bo'lsa, nuqtadan tashqari hamma joyda ajralishi mumkin. Bu holat L ga allaqachon ma'lum edi. Birinchi tartibli tenglamani ko'rib chiqqan Eyler

Bu tenglama kuch qatori bilan qanoatlantiriladi

Biroq, bu seriya har qanday kishi uchun farqlanishini ko'rish oson
ODE ning ajraladigan kuch qatori ko'rinishidagi yechimi formal deyiladi.