Qatorga 1 ta daraxt ekish mumkinmi? Har birida ta daraxt? Yechilishi. Yechimlardan biri rasmda ko'rsatilgan: 3942

3952. va sonlaridan qaysi birsi katta?


Yechilishi: x>1 to’plamda (n=100) funksiyani qaraymiz.
Unda , f – funksiyaning o’suvchi ekanligi kelib chiqadi. Shuning uchun f(101) > f(100), bundan birinchi son katta ekanligi kelib chiqadi.


3953. ABCD parallelogramma berilgan. Uning BC va CD yon tomonlarida
mos ravishda E va F nuqtalari shunday olinadiki, ABE va BCF uchburchaklari teng. Diagonal BD AE va AF segmentlarini M va N nuqtada kesib o'tadi.
Quyidagilarni isbotlang:
a) tomonlarining uzunliklari BM, MN va ND bo'lgan uchburchak mavjud;agar E va F nuqtalarning holati shunday o'zgarsa
MN ortadi, keyin yuqorida aytilgan uchburchakga tashqi chizilgan aylana radiusi ham oshadi.


Yechilishi:S ABCD parallelogram yuzasi bo’lsin, unda . Lekin
shuning uchun masala shartidan bu nisbatlarning tengligi kelib chiqadi. bo’lsin.

1. 
   O – nuqta diagonallar kesishish nuqtasi bo’lsin, unda BM

BME va DMA uchburchaklar o’xshashligidan BM:DM=BE:DA=λ , yani kelib chiqadi.
Ko’rinib turubdiki , va 0<λ<1 bo’ganda .

2. 
   BM, MN, DN tomonlardan tuzulgan uchburchakda MN tomon qarshisida yotgan burchak α 60 ekanligini ko’rsatamiz. Ma’lumki:
   

Masala yechimi sinuslar teoremasidan kelib chiqadi:


3954. Tekislikda to’g’ri chiziq va unga qurilgan ABC uchburchak berilgan. A’,B’,C’ nuqtalar A,B,C nuqtalarga nuqtaga nisbatan simmetrik bo’lsin. A’,B’,C’ nuqtalardan AB, BC va AC parallel to’g’ri chiziqlarni o’tkazamiz. Shu uchta to’g’ri chiziq bir nuqtada kesishishini isbotlang.


Yechilishi: 1-usul: A’ nuqtadan BC ga parallel bo’lgan to’g’ri chiziq o’tkazamiz, C’ nuqtadan esa AB ga parallel bo’lgan ni o’tkazamiz. D – nuqta va lar kesishish nuqtasi bo’lsin. B’D ACga parallel ekanligini tekshirsak etarli. B’ va D nuqtalar 5 – chi rasmda ko’rsatilgandek joylashgan holni qaraymiz.
bo’lsin. Unda parallel va qarama qarsi tomonli burchaklar xossasiga ko’ra bo’ladi. ABC va A’B’C uchburchaklar masala shartiga ko’ra nuqtaga nisbatan simmetrik bo’lganligi uchun bo’ladi. Demak A’,B’C’,D bir aylanada yotadi, ya’ni A’DB’C’ – to’rtburchak aylanaga ichki chizilgan. Bu yerdan ekanligi kelib chiqadi.
Va A’DB’ va ACB burchaklar yig’indisi ga teng va bundan tashqari DA’ va CB tomonlar parallel. Isbotlandi.
2-usul: A∈ deb hisoblasak bo’ladi. 6-chi rasmda ko’rsatilgandek to’g’ri burchakli koordinatalar sistemasini kiritamiz. Unda nuqtalar quyidagi koordinatalrga ega bo’ladi: , bu yerda chunki AB va AC ustma ust yotmaydi. Unda berilgan to’gri tenglamalari quyidagidek bo’ladi.
.
Shuning uchu quyidagi tenglamalr sistemasi bitta yechimga ega ekanligini ko’rsatsak yetarli:

Ikinchi tenglama birinchi v auchunchilarning yig’indisidan kelib chiqqanligi uchun quyidagu sistemani qarasak bo’ladi:

Bu Sistema determinantini qaraymiz: .
Ko’rinib turubdiki Sistema yagona yechimga ega.Isbotlandi.



5-rasm. 6-rasm.
3955. Qavariq ABCD to’rburchalning AB Va CD tomonlarida yotuvchi to’g’ri chiziqlar P nuqtada, AD va BC tomonlarda yotuvchilar esa Q nuqtada kesishadi. SABCD piramida KLMN to’g’ri burchakli sechenie ga ega ekanligi malum (K∈SA, L∈SB, M∈SC, N∈SD). ABCD to’rtburchak yuzasi 1 ga teng. ekanligini isbotlang.


Yechilishi: Agar to’g’ri chiziqda kesishuvchi tekisliklarda to’g’ri chiziqlar shunday joylashgan bo’lsaki bunda bo’lsa unda bo’ladi.
KL va NM parallel to’g’ri chiziqlar SP to’g’ri chiziqda kesishuvchi ASB va DSC tekisliklarda yotadi. Malumki . Lekin shartga ko’ra , PSQ burchak to’g’ri burchak. SO-SABCD piramida balandligi bo’lsi, unda endi ekanligini tekshirsak bo’ldi.
To’g’ri burchakli uchburchakda gipotenuzaga o’tkazilgan mediana bir tomondan uning yarmiga teng, boshqa tomondan esa unga o’tkazilgan balandlikdan kichik emas, shunung uchun , bu yerda ST- PSQ uchburchak balandligi. Lekin ST – og’ma, SO – S nuqtadan ABCD tekislikka tusjirilgan balandlik , shunung uchun .
Demak , isbotlandi.

7-rasm.


3956. ABC teng yonli uchburchak berilgan, AB=BC. Taxmin qilamizki:
1) M – BC kesma o’rtasi va O – AM da yotuvchi shunday nuqtaki , OB va AB perpendikulyar bo’ladi.
2) Q – B va C dan farqli BC kesmadai ixtiyoriy nuqta.
3) E nuqta AB to’g’ri chiziqda yotadi; F nuqta AC to’g’ri chiziqda yotadi va bumda E, Q ,F nuqtlar farqli bir to’g’ri chiziqda yotuvchi nuqtalar.
Ushbu masalaning batafsil yechimini N. X. Agaxanov va A. A. Fominning 1995 chi yildagi №2 .“35-Xalqaro matematika olimpiadasi” sonli maqolasida topish mumkin.
3957. Butun sonli o’qda aniqlangan va tenglamani qanoatlantirucvhi barcha uzluksiz funksiyalarni toping.