Qatorga 1 ta daraxt ekish mumkinmi? Har birida ta daraxt? Yechilishi. Yechimlardan biri rasmda ko'rsatilgan: 3942

3941. 4 qatorga 11 ta daraxt ekish mumkinmi? Har birida 4 ta daraxt?


Yechilishi. Yechimlardan biri rasmda ko'rsatilgan:



3942. Tenglikni deshifrlang: .


Yechilishi. Odatdagidek sonli reburslardagidek , xar hil harflar xar hil raqamlarni bildiradi deb hisoblaymiz. Tenglikning ikkala tomonigayam sonini qo’shamiz , qo;shishga doir quyidagi misol xosil qilamiz

E = 5 uchun biz N 2 yoki 7 ekanligini olamiz. Birinchi holda oʻnliklarda birlig koʻchirish sodir boʻlmaydi, lekin yuzliklar qatorida, O≠N bo’laganligi uchun, sodir bo’ladi, chunki mingliklar bo’yicha O=3 ekanligini topamiz, yuzlikalr bo’yicha esa I=9. Ikkinchi xolda, O≠N bo’laganligi uchun, O=8, yuzliklardan I=8=O ekanligi kelib chiqadi, lekin bu mumkun emas.
E=0 bo’lganida N=5, O=6, I=8 ekanligini bilib olamiz, va shunday qilib, bu misol ikki ikkita yechimga ega:
9∙325=2925 va 9∙650=5850
3943. N shunday natural sonki, har qanday aniq sonning kvadratini ga bo’lganda qoldiqda aniq kvadrat yoki nol hosil bo’ladi. N nimaga teng ?


Yechilishi. Ko’rinib turgan n=1 yechimdan boshqa, n=2 ham misol yechimi bo’la oladi: aniq kvadratni 4 ga bo’lganda qoldiqda 1 yoki 0 hosil bo’ladi.
va .
Agar bo’lsa, unda va ga bo’lagandagi qoldiq hisoblanadi va shuning uchun bu sonlar aniq kvadrat hisoblanadi. Shuning uchun
soni ham aniq kvadrat hisoblanadi, va bizda ikkita 3 ga farq qiluvchi aniq kvadratlar bor, lekin bu mumkun emas, chunki .
Agar bo’lsa, unda , bundan kelib chiqadiki n<10. Boshqa tomondan esa , 2n+1 soni toq 2k+1 sonining kvadrati hisoblanganligi uchun, , , faqat n=4 dagi holi qoladi.
Tekshirishlar shuni ko’rsatadiki, aniq kvadratlarni 16 ga bo’lganda qoldiq faqat 0,1,4 va 9 chiqadi, shunday ekan n=4 masala shartini qanoatlantiradi. Shunday qilib, n 1, 2 yoki 4 ga teng.

3944. Surati 1 ga va mahraji 1,3,5, …, 1995 ga teng bo’lgan kasrlar yig’indisi qisqarmas kasr ko’rinishiga keltirildi. Hosil bo’lgan kasrning surati 2 ning qanday enh kata darajasiga bo’linadi?

Yechilishi: Yig'indining uchlaridan teng masofadagi kasrlarni qo'shib, 1996=4∙499 sonining 499 ta suratlari 1 ga teng va toq maxrajli 499 ta kasr yig’indisiga ko'paytmasini olamiz. Bu kasrlarni qo’shgandan keyin maxrajda juft son hosil bo’ladi, suratda esa 499 ta toq. Shuning uchun berilgan yig’indini qisqarmas ko’rinishga keltirgandan so’ng 2 ning eng kata darajasi 4 bo’ladi.


3945. ning qanday natural qiymatida tenglik bajariladi?


Yechilishi: Bu tenglamani ko’rinishida yozish mumkun , bundan kelib chiqadiki x=y: o’ng tarafdagi ikkinchi ko’paytuvchi juft son, shunday ekan o’ng va chap taraflarni tub ko’paytuvchilarga ajratganda 2 ning bir hil darajalari hosil bo’lishi kerak. Hosil bo’lgan tenlamani x=y bo’lganda ga bo’lib, tenglamani olamiz, bu yerda n=3z-x.
3soning darajalarini 8 ga bo’lganda 3 va 1 ga teng bo’lgan qoldiqlar chiqishini tekshirish qiyin emas, shuning uchun tenglamaning chap tarafi 8 ga bo’linmaydi. Kelib chiqadiki, , n=2, x=1, z=1 ekanini olamiz.
Shunday qilib, tenglama yagona x=y=z=1 yechimiga ega.


3946. Tekislikda shunday,3 tasi bitta to’g’ri chiziqda yotmaydigan va hech qaysi 4 tasi bir aylanada yotmaydigan, shunday qilib, ular orasidagi 10 masofa orasida 1 tasi 4 marta, bittasi 3 marta, bittasi 2 marta va bittasi bir marta uchraydigan 5 ta nuqta topish mumkunmi?


Yechilishi: ABC teng tomonli uchburchak, D- uning markazi, E esa – cd o’rta perpendikulyar va A markazli radiusi AB ga teng bo’lgan aylana kesishish nuqtasi bo’lsin, bu yerda EA > EB (1-rasm). Shunday qilib AD < AB < EC < BE,
AE = AB = AC =EC, AD = BD = CD, EC = ED, va berilgan 5 ta nuqta masala shartini qanoatlantiradi.


(1-rasm)
3947. S markazli aylana berilgan. AB S dan o’tmaydigan vatar bo’lsin, C esa AB vatarning ichki nuqtasi bo’lsin. ASC uchburchakka tashqi chizilgan aylana ikkinchi marta berilgan aylanani D nuqtada kesib o’tadi. CD=CB ekanligini isbotlang.


Yechilishi: Markaziy DSA burchak ga teng bo’lsin, unda ichki DBA burchak ga teng bo’ladi (2-rasm, а, б). DSA va DCA ichki burchaklar tenhligidan kelib chiqadiki . Lekin , bundan , ya’ni , demak, BCD teng yonli uchburchak ekan.

2-rasm.
3948. M nuqta ABC uchburchaning BC tomonining o’rtasi. Agar mos ravishda ABC, ABM, ACM (3-rasm) uchburchaklarga ichki chizilgan aylanalar radiuslari, a BC tomon uzunligi bo’lsa , unda tenglikni isbotlang.
Yechilishi: Agar lar mos ravishda ABC, ABM, ACM uchburchaklar yuzasi bo’lsa unda M nuqta BC tomon o’rtasi bo’lganligi uchun , bo’ladi. Unda , kelib chiqadiki , bu yerda h BC tomonga tushurilgan balandlik. Masala yechimi endi dan kelib chiqadi.



3-rasm 4-rasm