Qatorga 1 ta daraxt ekish mumkinmi? Har birida ta daraxt? Yechilishi. Yechimlardan biri rasmda ko'rsatilgan: 3942

Yechilishi: x=y=0 bo’lganda f(0)=f(f(0)) ekanligini olamiz shunda y-0 bo’lganda f(f(x))=2f(x)-f(0). X va y shartga simmetrik kirganligi uchun f(f(y))=2f(y)-f(0), va f(x+y)f(x)+f9y)-f(0). g(x)=f(x)-f(0) ni qo’yin g(x+y)=g(x)+g(y) tenglikni olamiz, va g(x)=ax ixtiyoriy x lar uchun va f(x)=ax+b, bu yerda a va b sonlar. F(x) ni tenglikka qo’yib 2(x+y+b)=a(ax+b)+b+a(ay+b)+b ni olamiz, bu yerda , ab=0, shunday ekan a=2, b=0 yoki a=0, b- ixtiyoroy son. Shunday qilib tenglama yechimi f(x)=2x va funksiyaning barcha o’zgarmaslari.


3958. Nol bilan natural sonlar to’plamini 3 ta shunday qism to’plamlarga bo’lish mumkunmi bunda, 3 dan boshlab har bir son yagona tarzda o’zidna olding uchta son yi’g’indisi ko’rinishida bo’lishi va bu yig’indilarning har biri shu qism toplamlardan biriga tegishli bo’lsin?


Yechilishi: Bunday bo;lish namunasi : .


3959. kubning A,B,D uchlarida va M qirra o’rtasida bittadan chivin o’tiribdi. Bir payt chivinlardan biri uchib qolgan ikkita pashshani bog’laydigan to’g’ri chiziqqa parallel ravishda uchib, kub yuzasiga qo’ndi. Keyin passhalardan biri yana uchib ketdi va qolgan ikkita pashhshani bog’laydigan to’g’ri chiziqqa parallel ravishda uchib kub yuzasiga qo’ndi va hokazo.
Chivinlar bir nechta parvozdan keyin A,B,D,A1 uchlarga, kubning har bir uchiga bittadan tushishi mumkinmi?


Yechilishi: K,L,M,N chivinlar oldin bo’lgan nuqtalar esa bazi parvozlardan keying nuqtalari bo’lsin. Keling, KLMN va tetraedrlarning hajmlari tengligini ko’rsataylik. Haqiqatan ham, CHIZIG’I, TAXMINGA KO’RA, KLM uchburchakning tomonlaridan biriga parallel, ya’ni . Bundan kelib chiqadiki, tetraedrlar umumiy asosga va teng balandliklarga ega, shuning uchun ular teng o’lchamlarga ega.
Shunday qilib, har bir parvozdan keyin chivinlar joylashgan nuqtalarda tetraedr hajmi o’zgarmaydi. Bu shuni anglatadiki, pashshalar A,B,D va nuqtalarda bo’la olmaydi, chunki .


3960. tomonlari uzunligi mos ravishda ga teng bo’lgan uchburchak S aylanaga ichki chizilgan. uchlaridan tushirilgan balandlim asoslari bo’lsin; lar esa dan o’tuvchi S ga urunish nuqtalari; tomonlar o’rtalari; (i=1,2,3) - to’g’ri chiziqda yotuvchi va nuqtalardan o’tuvchi markazli aylana. aylanalarning kesmalar bilan kesishish nuqtalar. va uchburchaklar yuzalari nisbatini toping.


Yechilishi: Avval nuqta burchak bissektrisasida yotishini ko’rsatamiz (8-rasm). Uchburchakning o’rta chizig’i asosga parallel va balandlikni teng ikkiga bo’ladi, shuning uchun to’g’ri chizziq o’rta perpendikulyari hisoblanadi. Bundan markaz to’g’ri chizziqda yotishi kelib chiqadi.

8 –rasm 9 – rasm


- uchburchak burchaklari bo’lsin. Unda
Bundan kelib chiqadiki,
Bundan tashqari, . Shuning uchun ya’ni - burchak bissektrisasi.
Endi uchburchak bissektrisasi xossasidan foydalanib
Malumki .
Bundan tashqari uchburchak yuzasi yuzasidan 4 marta kichik. Shuning uchun endi va uchburchaklar yuzalari nisbatini topsak yetarli (9-rasm). dan kelib chiqadiki .
Kerakli nisbatlarni olamiz , shuning uchun qidirilayotgan nisbat ga teng.