Q.Ə. Rüs t əmov

§ 
3. 
Dayanıqlıq oblastının bərabərsizliklər 
sisteminin  həlli  əsasında təyini
 
 
      Hurvis kriterisində dayanıqlıq şərtləri bərabərsizliklər şəklində 
olgundan  bu  bərabərsizliklər  sistemini  həll  edərək  dayanıqlıq 
oblastını qurmaq olar. Bu halda dəyişən parametrlər qapalı ATS-
in  xarakteristik  tənliyinə  qeyri-xətti  şəkildə  də  daxil  ola  bilər. 
Bərabərsizliklər  sisteminin  kompyüterdə  həll  proqramını  əldə 
etmək üçün İnternetdən istifadə etmək olar. Bu əqsədlə, məsələn, 
Yahoo, Matlab, LMI əmrini daxil etmək olar. 
     Fərz  edək  ki,  qapalı  ATS-in  xarakteristik  polinomu 
sadələşdirildikdən  sonra şagıdakı şəklə gətirilmişdir: 
 
).
k
(
a
...
s
)
k
(
a
s
)
k
(
a
)
s
(
D
n
1
n
1
n
0





              (6 ) 
 
      Burada 


T
m
2
1
)
k
,...,
k
,
k
(
k
dıyişən parametrlər vektorudur. 
      Bərabərsizliklər  sistemi  dayanıqlıgın  zıruri 
0

i
a
,  i=1,...,n, 
və  Hurvis  kriterisinə  əsasən  H>0  şərtini  ödəyən  kafi 
0
),...)
k
(
a
(
F
0
j

,
,
,...,
1


j
şərtlərindən təşkil olunur:  
                                                                                                             
.
0
),...)
(
),
(
(
..
..........
..........
..........
,
0
),...)
(
),
(
(
,
0
),...)
(
),
(
(
,
0
)
(
..
..........
..........
,
0
)
(
)
7
(
,
0
)
(
1
0
1
0
2
2
1
0
1
1
1
2
0
1















k
a
k
a
F
z
k
a
k
a
F
z
k
a
k
a
F
z
k
a
z
k
a
z
k
a
z
n
n
n
n
n


 
 

138 
 
     Dayanıqlıq 
oblastının 
sərhədlərini 
qurmaq 
üçün 
bərabərsizlikləri bərabərlik ilə əvəz edib k-nın dəyişmə 
k
k
k


intervalında  sıfır  səviyyə  xətlərini  qurmaq  lazımdır.Əyrilərin 
kəsişməsi  nəticəsində  D-bölmə  üsulunda  olduğu  kimi  bir-necə 
oblast  alına  bilər.Həqiqi  oblastı  təyin  etmək  üçün  D-bölmə 
üsulunda olduğu kimi hər-bir oblastdan bir nöqtə a* götürüb sadə 
üsullardan  birinin  köməyi  ilə,  məsələn,  köklər  üsulu- 
roots(a
1
*
,a
2
*
,...,a
n
*)  ilə  bu  nöqtədə  dayanıqlığı  yoxlamaq 
lazımır.Dayanıqlığın ödənildiyi oblast hıqiqi oblastdır. 
      Səviyyə  xətlərini  qurmaq  üçün  contour(x,y,z,[h  h])  Matlab 
funksiyasından istifadə etmək olar.Burada h səviyyə xəttinə uyğun 
qiymət olub baxılan məsələdə sıfra bərabərdir: h=0. 
 
3.1. 
Bir parametrə görə dayanıqlıq
 
oblastının tıyini
 
 
      
Misal
 
3 .
 Əvvəlki misala baxaq: 
 
.
0
)
1
)(
1
)(
1
(
)
(
3
2
1






k
s
T
s
T
s
T
s
D
 
 
      Mötərizzələri açdıqdqn sonra (4.60) ifadəsi: 
 
.
a
s
a
s
a
s
a
)
s
(
D
3
2
1
0




 
.
s
1
T
,
s
1
.
0
T
,
s
5
.
0
T
,
k
1
a
,
T
T
T
a
,
T
T
T
T
T
T
a
,
T
T
T
a
3
2
1
3
3
2
1
2
3
2
3
1
2
1
1
3
2
1
0












 
      Axtarılan parametri k = x işarə edək.Hurvis  kriterisinə əsasən 
n=3 
halında 
dayanıqlığın 
kafi 
şərti:
 
.
0
a
a
a
a
3
0
2
1


0
a
,
0
a
,
0
a
2
1
0



olduğundan (4.61) sistemi:
 

139 
 
.
0
a
a
a
a
F
z
,
0
x
1
z
3
0
2
1
2
1
2
1









 
       Bu sistem: 1+x >0, 0.99-0.05x >0. Buradan: x > -1, x< 19.8. 
Və ya -1< k < 19.8. 
       Indi contour(x,y,z[0 0]) funksiyasından istifadə edək. 
      Şəkil  6    -da  Matlab  proqramı  və  dayanıqlıq  oblastı  (bir 
parametr halında- intervalı ) göstərilmişdir. 
 
 
 
Səkil 
6. 
Bir parametrə görə dayayanıqlıq
 
 
oblastının qurulması
 

140 
 
       contour(.) fuksiyasında z ikiölçülü massiv olduğundan y fiktiv 
dəyişəni əlavə olunmuşdur.Şəkildən göründüyü kimi, aötarılan 
dayanıqlıq intervalı -1< k < 19.8 iki vertikal xətlə ayrılmışdır. 
 
3.2. 
İki parametrə görə dayanıqlıq
 
oblastının qurulması
 
 
     
Misal
 4 .Fərz edək ki, qapalı ATS-in xarakteristik polinomu 
aşağıdakı şəkildə verilmişdir: 
.
k
s
2
s
)
2
T
2
(
s
)
1
T
2
(
Ts
)
s
(
D
2
3
4







 
 
     Iki- zaman sabiti T=x və gücləndirmə əmsalı k=y görə 
dayanıqlıq oblastının qurulması tələb olunur. 
     Bu halda: 
.
k
a
,
2
a
,
2
T
2
a
,
1
T
2
a
,
T
a
4
3
2
1
0







 
      Parametrlər T  >0, k  >0 olduğundan zəruri a
i
  >0 şərtlərinin 
hamısı ödənilir.Bu səbəbdən zəruri şərtlər üçün z
i
 
funksiyalarından istifadə etməmək olar. T və k parametrlərini 
müsbət intervalda daxil etmək kifayyətdir, məsələn, 0-10 
intervalında. 
n=4 olduğundan Hurvis kriterisinə görə zəruri şərt: 
 
.
0
a
a
)
a
a
a
a
(
a
F
z
4
2
1
3
0
2
1
3
3







 
 
     Şəkil 7– də Matlab proqramı və dayanıqlıq oblastı 
göstərilmişdir. 

141 
 
 
 

142 
 
 
 
Şəkil 
7. 
İki parametrə görə dayanıqlıq 
 
oblastının qurulması
 
 
     Rənglənmiş dayanqlıq oblastına əsasən parametrlər 0 < T < ∞ , 
0 < k < 4 intervalında  dəyişə bilər. 
 
§ 4
. 
Biləvasitə bərabərsizliklər sisteminin
 
 
həllinə əsaslanan üsul
 
 
     Fərz  edək  ki,  qapalı  sistemin  (və  ya  obyektin)  xarakteristik 
polinomu aşağıdakı şəkildə verilmişdir: 
D(s) = a
0
s
n
 + a
1
s
n-1
 + … + a
n
. 
     Hurvis  dayanıqlıq  kriterisinə  əsasən  bu  ifadə  ilə  yazılan 
sistemin dayanıqlı olması üçün H matrisi müsbət müəyyən matris 
olmalıdır: H > 0.  Əvvəldə  qeyd olunduğu kimi  (§4.5.1) bu  şərtin 
ödənilməsi  üçün        H  matrisinin  diaqonal  təyinediciləri  sıfırdan 
böyük olmalıdır: 
0
0
0
0
X= 7.4
Y= 2
Level= 2
Iki parametre nezeren D-bolme
Zaman sabiti-T
G
u
c
le
n
d
ir
m
e
 e
m
s
a
li-
k
0
2
4
6
8
10
0
2
4
6
8
10

143 
 
1
n
n
3
0
2
1
2
0
3
1
2
1
1
|
H
|
,...,
0
a
a
a
a
a
a
a
a
,
0
a












. 
     Bu ifadə cəbri bərabərsizliklər sistemini təşkil edir. 
n <=4  üçün dayanıqlıq şərti bir bərabərsizliyə gətirilə bilir.  
     Məsələn, n=4 halında bu bərabərsizlik: 
 
4
,
0
i
,
0
a
,
0
a
a
)
a
a
a
a
(
a
i
4
2
1
3
0
2
1
3
4







. 
     Qeyri  xətti  cəbri  bərabərsizliklər  sistemini  həll  edə  bilsək 
dayanıqlıq  oblastını  təyin  edə  bilərik.  Lakin  «birqiymətli»  nəticə 
almaq  üçün  bəzi  a
i
  parametrlərinin  qiyməti  verilməlidir.  Bu 
tələbat adətən praktikada özünü doğruldur. Belə ki, əksər hallarda 
bir  və  ya  iki  parametrə  görə  dayanıqlıq  oblastını  təyin  etmək 
kifayyət edir. 
     Misal
 5. Qapalı ATS-in xarakteristik tənliyi: 
D(s) = 1 + W
A
 = 0,   W
A
 =W
T
W
ob
. 
     Tənzimləyici:  
.
0
a
,
1
s
a
s
W
T




 
     Obyekti: 
 
.
0
K
,
)
5
s
)(
2
s
(
s
K
W
ob




 
     Onda xarakteristik tənlik: 
)
5
s
)(
2
s
)(
1
s
(
s
)
a
s
(
K
1
)
s
(
D






. 
     Buradan: 
          D(s) = s(s+1)(s+2)(s+5) + K(s+a) = 0 
və ya                                         D(s) = s
4
 + 8s
3
 + 17s
2
 + (K+10)s + 
Ka = 0. 
 
     Burada: a
0
 = 1, a
1
 = 8, a
2
 = 17, a
3
 = K+10, a
4
 = Ka. 
n = 4 üçün Hurvis kriterisi, 

3
 > 0. 

144 
 
       -(K + 10)
2
 + 136(K + 10) – 64Ka > 0. 
Bu  bərabərsizliyi  analitik  yolla  həll  etməyib  parametrlərin  həd 
qiymətlərindən istifadə edək. 
1.
 
a = 0 olanda 0 < K < 126. 
2.
 
K = 0 olanda 0 < a < 

. 
3.
 
Sərhəd əyrisi a =(-K
2
 + 116K + 1260)/64K = f(K). 
     Şəkil 8-də iki parametrə görə dayanıqlıq oblastı göstərilmişdir. 
 
 
 
Şəkil 
8. 
İki parametrə görə dayanıqlıq oblastı
 
 
     Xətti dəyişən g = At tapşırıq siqnalı halında qərarlaşmış (statik) 
xəta: 

s
 = A/K

,
 
.
10
/
Ka
W
sW
lim
K
ob
T
0
s




 
     Beləliklə: 
.
Ka
A
10
s


 
     Göründüyü  kimi,  statik  xəta  Ka  hasilindən  asılıdır.  Ka  =  42 
götürsək 

s
 = 23,8% almaq olar. Əgər bu xəta qənaətbəxşdirsə K 
və a-nın Ka = 42 təmin edən elə qiymətlərini seçmək lazımdır ki, 
bu nöqtə dayanıqlıq sərhəddindən «uzaqda» yerləşsin. Məsələn, K 
= 70, a = 0,6. 

145 
 
     Misal
  6.  Ötürmə  funksiyası  aşağıda  verilmiş  açıq  ATS-in 
gücləndirmə əmsalının həd qiymətini tapın: 
)
1
s
T
)(
1
s
T
)(
1
s
T
(
)
1
s
(
K
W
3
2
1
A






. 
Zaman sabitləri: T
1
 = 0.2 s, T
2
 = 0.25 s, T
3
 = 0.5 s, 

 = 0.1 s. 
     Qapalı ATS-in ötürmə funksiyası: 
A
A
Q
W
1
W
W


. 
     Qapalı ATS-in xarakteristik polinomu: 
D(s) = T
1
T
2
T
3
s
3
 + (T
1
T
3
 + T
2
T
3
 - T
1
T
2
)s
2
 + (T
3 
- T
1
 - T
2
 + K

)s + 
(K-1) 
və ya konkret qiymətlərdə: 
D(s) = 0.025s
3
 + 0.175s
2
 + (0.1K + 0.05)s + (K-1) = a
0
s
3
 + a
1
s
2
 + 
a
2
s + a
3
. 
     Dayanıqsızlığın zəruri şərtinə əsasən: 
a
0
 > 0, a
1
 > 0, a
2
 > 0, a
3
 > 0. 
     Hurvis kriterisinə əsasən n = 3 halında: 
.
0
a
a
a
a
3
0
2
1
3




 
     Beləliklə,  K-ni  təyin  etmək  üçün  üç  bərabərsizlikdən  ibarət 
bərabərsizliklər sistemi alırıq: 
0.1K + 0.05 > 0 

 K > -0.5, 
K – 1 > 0,  

 K > 1, 
0.175(0.1K + 0.05) – 0.025(K-1) > 0 

 K < 4.5. 
     K müsbət kəmiyyət olduğundan 1 < K < 4.5 intervalında qapalı 
ATS dayanıqlı olacaqdır. 
 

146 
 
§ 
5
. Parametrik məhdudiyyətlər olduqda 
dayanıqlığın təyini. Xaritonov teoremi
 
 
     Əksər praktiki hallarda sistemin parametrlərinin yalnız hədd 
qiymətləri məlum olur.Bu hala uyğun xarakteristik tənlik 
aşağıdakı şəkildə verilir: 
                    
.
,...,
2
,
1
],
,
[
,
...
)
(
1
1
0
n
i
a
a
a
a
s
a
s
a
s
D
i
i
i
n
n
n







     
(8) 
 
     Xaritonovun robast dayanıqlıq teoriminə əsasən  (8) sistemi  o 
vaxt dayanıqlıdır ki,aşağıdakı əmsallara malik olan dörd sayda ən 
“təhlükəli” polinomlar dayanıqlı olsun: 
,...),
,
,
,
,
,
,
,
(
.
1
7
6
5
4
3
2
1
0
a
a
a
a
a
a
a
a
                             (9)                                             
 
,...),
,
,
,
,
,
,
,
(
.
2
7
6
5
4
3
2
1
0
a
a
a
a
a
a
a
a
                           (10)                                             
 
,...),
,
,
,
,
,
,
,
(
.
3
7
6
5
4
3
2
1
0
a
a
a
a
a
a
a
a
                           (11)                                        
 
,...),
,
,
,
,
,
,
,
(
.
4
7
6
5
4
3
2
1
0
a
a
a
a
a
a
a
a
                           (12)         
 
     n=3 
halında  yalniz  bir 
3
2
1
1
0
)
(
a
s
a
s
a
s
a
s
D
n
n





 
polinomunu  yoxlamaq  (məsələn,  köklər  üsulu  və  ya  Hurvis 
dayanıqlıq kriterisinin köməyi ilə) kifayyətdir. 
     n=4 olduqda iki:(9) və (10), n=5 halı üçün üç: (9), (10) və (11), 
n >=6 halı üçün isə bütün dörd: (9)-(12) polinomlarını dayanıqlığa 
yoxlamaq lazımdır. 
     Misal 7. 
Açıq ATS-in ötürmə funksiyasi: 
.
)
1
s
T
)(
1
s
T
(
s
k
)
s
(
W
2
1
A



 
     Parametrlərin nominal qiyməti: k=4, T
1
=1 s., T
2
=0.5 s. 
Parametrlər 
7
.
0
T
2
.
0
,
5
.
1
T
6
.
0
,
5
k
3
2
1






 intervalında 
dəyişərsə qapalı ATS –in dayanıqlığını yoxlamaq tələb olunur. 
    Qapalı ATS-in ötürmə funksiyası: 

147 
 
.
a
s
a
s
a
s
a
k
W
1
W
)
s
(
W
3
2
2
1
3
0
A
A
Q






 
 
     Burada 
.
k
a
,
1
a
,
T
T
a
,
T
T
a
3
2
2
1
1
2
1
0





 Parametrlərin 
dəyişmə intervalı    
 
.
5
a
3
,
1
a
,
2
.
2
a
8
.
0
,
05
.
1
a
12
.
0
3
2
1
0







 n=3 
 
olduğundan 
0
5
s
1
s
8
.
0
s
05
.
1
a
s
a
s
a
s
a
)
s
(
D
2
3
3
2
1
n
1
n
0











          
xarakteristik  tənliyi  üçün  Hurvis  dayanıqlıq     
0
a
a
a
a
3
0
2
1


şərtini  yoxlamaq  kifayyətdir.    Bu  şərt  ödənilmədiyindən,  yəni  -
4.45<0  olduğundan  qapalı  ATS  parametrlərin  verilmiş  dəyişmə 
intervalında dayanıqsız rejimə düşə bilər. 
 
§ 
6
. Struktur dayanıqsızlıq
 
 
     
Tərif.  Əgər  sistemin  parametrlərinin  qiymətini  (işarəsini 
yox!)  dəyişməklə  onu  dayanıqlı  hala  gətirmək  mümkün 
deyilsə, belə sistemlər struktur dayanıqsız sistemlər adlanır. 
Struktur  dayanıqsız  sistemləri  dayanıqlı  etmək  üçün  sistemə  yeni 
manqalar  və  əlaqələr  daxil  etmək,  yəni  ATS-in  strukturunu 
dəyişmək lazımdır. 
     Fərz edək ki, birölçülü açıq ATS-in ötürmə funksiyası: 
)
s
(
D
)
s
(
M
)
s
(
W
A
A
A

. 
     Uyğun qapalı ATS-in ötürmə funksiyası: 
)
s
(
D
)
s
(
M
)
s
(
M
)
s
(
D
)
s
(
M
W
1
W
)
s
(
W
A
A
A
A
A
Q





.              (13) 

148 
 
     Rus  alimi  M.A.Ayzerman  1965-ci  ildə  birölçülü  ATS-in 
struktur dayanıqsızlıq şərtlərini təklif etmişdir. 
     Əgər    m 

 

  + 

 -  1  və  cədvəl  4.4-də  verilmiş  şərtlərdən  biri 
pozularsa, birölçülü ATS struktur dayanıqsızdır.  
                                                                              
 
Cədvəl 4
     Struktur dayanıqsızlığı yoxlamaq üçün 
   
bərabərsizliklər 
 
f 
m = 0 
m>0, cüt 
m>0, tək 
Cüt 
n+m > 4r 
n+m > 4r-1 
n+m > 4r-2 
Tək 
n+m > 4r 
n+m > 4r 
n+m > 4r+1 
 
     Burada: 
-  n  və  m  -  uyğun  olaraq  açıq  ATS-in  ötürmə  funksiyasındakı 
məxrəc D
A
(s) və sürətdəki M
A
(s) polinomlarının tərtibi; 
- 

, 

- D(s) polinomunun sıfır və müsbət köklərinin sayı; 
-  f  -  D(s)  polinomunun  müsbət  və  ya  sıfır  həqiqi  hissələri  olan 
kompleks köklərinin sayı; 
- r – f/2 kəsrinin tam hissəsi. 
     Bu  metodika  M
A
(s)  =  0  tənliyinin  sağ  kökləri  (yəni  müsbət 
həqiqi hissəyə malik olan köklər) olmayan halı  əhatə edir.  Başqa 
sözlə, açıq ATS minimal – fazalı bənd olmalıdır. 
     Xüsusi hallar: 
     1.  Əgər  açıq  ATS-in  ötürmə  funksiyasının  sürəti  M
A
  =  K 
olarsa,  onda  uyğun  qapalı  sistemin  dayanıqlı  olması  üçün  m  =  0 
olduğundan aşağıdakı bərabərsizliklərin ödənilməsi kifayyətdir: 

 + 

 ≤ 1, n > 4r.                                                          (14 4.64) 
     2.  Əgər  M
A
  =  K(

s  +  1)  olarsa,  qapalı  sistemin  dayanıqlı 
olması üçün aşağıdakı şərtlər ödənilməlidir: 










.
,
4
,
2
,
,
3
4
,
2
olanda
tek
f
r
n
olanda
cüt
f
r
n




 

149 
 
     3.  Əgər  M
A
  =  K(b
0
s
2
+b
1
s+1)  olarsa,  qapalı  ATS-in  dayanıqlı 
olması üçün aşağıdakı şərtlər ödənilməlidir: 











.
,
1
4
,
3
,
,
2
4
,
3
olanda
tek
f
r
n
olanda
cüt
f
r
n



