Q.Ə. Rüs t əmov

§ 7. Lyapunov tənliyinin Matlabda həlli
 
 
      Matris  cəbri  tənlikləri  həll  etmək  üçün  Matlabda  xüsusi 
funksiyalar mövcuddur. 
     Q = lyap(A,P) funksiyası 
A
T
Q + QA + P = 0 

40 
 
şəklində olan Lyapunov tənliyini həll etməyə imkan verir. Burada 
A, P eyni ölçülü verilmiş kvadratik matrislərdir. Əgər P simmetrik 
matris  şəklində  verilərsə,  məsələn,  P  =  I  vahid  matris  şəklində, 
onda axtarılan Q matrisi də simmetrik matris şəklində alınacaqdır. 
P-nin vahid matris şəklində verilməsi sistemin dayanıqlığına və ya 
dayanıqsızlığına xələl gətirmir. 
     Misal
  9.  Aşağıdakı  tənlik  ilə  verilmiş  obyektin  dayanıqlığını 
lyap(A,P) funksiyasının köməyi ilə yoxlayaq: 
 
x
1
1
1
4
.
5
dt
/
dx










. 
          








1
0
0
1
I
P
- qəbul edək. 
     Aşağıda  müvafiq  Matlab  proqramı  və  həll  (Q  matrisi)  göstə-
rilmişdir. 
 
 
 
     Həll  







4463
.
0
0537
.
0
0537
.
0
1025
.
0
Q
 
 
simmetrik matris şəklində alınmışdır.  

41 
 
     Bu  matrisin  məxsusi  ədədləri  λ=eig(Q)  funksiyasının  köməyi 
ilə təyin olunmuşdur. λ
1
 = 0.0943 > 0, λ
2
 = 0,4545 > 0 olduğundan 
Q  müsbət  müəyyən  matrisdir  və  deməli  müvafiq  sistem 
dayanıqlıdır.  Qeyd  edək  ki,  Q  matrisinin  məxsusi  ədədlərini 
yoxlamamaq da olardı. Cünki P=I olduğundan həll  mövcuddursa, 
o  hökmən  simmetrik    şəklində  alınacaqdır.  Yuxarıda  deyildiyi 
kimi belə matris müsbət müəyyən matrisdir! 
     Sistem  dayanıqlıq  sərhəddində  və  ya  dayanıqsız  olarsa, 
məsələn 
.
2
,
1
1
1
1
;
2
,
0
,
1
1
1
1
2
,
1
2
1
























A
A
 
qiymətlərində,  Lyapunov  tənliyinin  həlli  mövcud  deyil.  Belə 
hallarda proqramm həllin  olmaması haqqında  “??? solution  does 
not  exist  or  not  unique”  məlumatını  verir.  Bu  nəticə  baxılan 
obyektin  dayanıqsız  (və  ya    dayanıqlıq  sərhəddində)  olmasını 
göstərir. 
     Problem. Лйапуновун 2-ъи цсулу системин диференсиал тянлийинин 
щяллини  тяляб  етмяся  дя  лазыми  хассяляря  малик  олан  Лйапунов 
функсийасынын  тапылмасыны  тяляб  едир.  Яэяр  беля  функсийа  тапмаг 
мцмкцндцрся,  бу  дайаныглыьа  дялалят  едир.  Лакин  Лйапунов 
функсийасынын  тапыла  билмямяси  системин  щюкмян  дайаныгсыз 
олмасы демяк дейил. Ола билсин ки, тядгигатчынын тяърцбяси кифайят 
гядяр  дейил  вя  йа  цмумиййятля  бахылан  тип  гейри-хяттилик  цчцн 
Лйапунов функсийасынын гурулмасы методикасы ишлянилмямишдир. 
     Лйапунов  функсийасынын  гурулмасынын  цмуми  гайдасынын  ол-
мамасы бу цсулун чатышмайан ъящятидир. Щазырда Лйапунов функ-
сийасынын тяртиб олунма гайдасы хятти вя бязи тип гейри-хяттиликляря 
малик олан гейри-хятти тянзимлямя системляри цчцн ишлянилмишдир. 
 
 
 
 

42 
 
§ 
8. 
Xətti sistemlər üçün Lyapunov
 
 
funksiyasının tərtib olunması
 
 
     Ашаьыдакы хятти диференсиал тянликляр системи иля йазылан хятти вя 
йа хяттиляшдирилмиш обйектя (системя) бахаг:  
 
 
. 
....
..........
..........
..........
..........
  
, 
, 
n
nn
2
2
n
1
1
n
n
n
n
2
2
22
1
21
2
n
n
1
2
12
1
11
1
a
a
a
dt
d
a
a
a
dt
d
a
a
a
dt
d
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x















 
 
     Вя йа вектор формасында: 
 
 
              
x
x
A
dt
d

.                                   (31) 
     Бурада  
)
a
(
A
ij


 
n
n

-юлчцлц мялум сабит матрисдир. 
     Хятти системин йеэаня олан таразлыг вязиййяти  
0
)
,
,
,
(
т
n
2
1


x
x
x

x
 нюгтясиндя олдуьундан, координатларын явяз олун-
масына ещтийаъ йохдур. 
     Хятти  системляр  цчцн  Лйапунов  функсийасы  квадратик  форма 
шяклиндя ахтарылыр: 

 

n
1
i
n
1
j
j
i
ij
q
)
(
V
x
x
x
,      
j i
ij
q
q

             
(32) 
вя йа вектор шяклиндя  
x
x
x
Q
)
(
V
т

 .                                     (33) 
     Бурада 
)
q
(
Q
ij


 
n
n

-юлчцлц симметрик матрисдир. 
     Квадратик  (33)  формасынын  вя  демяли,  скалйар 
)
(
V x  функси-
йасынын  мцсбят  мцяййян  олмасы  цчцн,  биринъиси,  Г  симметрик 
матрис олмалы, икинъиси, онун мяхсуси ядядляри 
0
i


 шяртини юдя-

43 
 
мялидир. Гейд едяк ки, симметрик матрисин мяхсуси ядядляри щяги-
ги ядядлярдир. Мялум олдуьу кими, 
i

  
 
 
0
|
Q
|
)
Q
det(






I
I
                              (34) 
характеристик тянлийинин щяллиндян тапылыр. 
     Матрисин  мцсбят  мцяййян  (мянфи  мцяййян)  олмасынын  башга 
бир  яламяти  онун  бцтцн 
i

 диагонал  (баш)  минорларынын  сыфырдан 
бюйцк (кичик) олмасыдыр. Бу Силвестрин  зярури  вя кафи шяртидир. Бу 
щалда ашаьыдакы мцнасибятляр юдянилмялидир: 
0
q
11
1



, 
0
22
12
21
11
2



q
q
q
q
,

,
.
0
|
|



Q
n
     (35) 
     Лйапунов функсийасынын тюрямяси  
.
)
(
x
x
x
x
QA
Q
A
d
d
V
dt
dV
т
т
т











                        
(36) 
Эюрцндцйц  кими,  йени  квадратик  форма  алынмышдыр.  Яэяр  П  иля 
ишаря етдийимиз 
 
 
)
QA
Q
A
(
т



P
                               (37) 
матрисиня  мцсбят  мцяййян  (йяни 
)
QA
Q
A
(
т

матриси  мянфи  мц-
яййян оларса) матрис оларса, онда 
)
(
V x

 мянфи мцяййян функсийа 
олаъаг  вя  теорем  2-йя  ясасян  (31)  бцтювлцкдя  асимптотик 
дайаныглы систем олаъагдыр. 
      П матрисинин мцсбят мцяййянлийини сечилмиш мцсбят мцяййян 
Г  вя  мялум  А  матрислярини  (37)  ифадясиндя  йериня  йазараг 
йухарыда  эюстярилмиш  ики  цсулдан  бири  иля  йохламаг  олар.  Эюстяр-
мяк олар ки, яэяр А матриси дайаныглыдырса (Щурвис матриси), йяни 
мяхсуси  ядядляринин  щягиги  щиссяляри  сыфырдан  кичикдирся,  онда 
истянилян мцсбят мцяййян Г цчцн П матриси дя мцсбят мцяййян 
матрис шяклиндя алыныр. 
     Адятян  практики  щесабламаларда  тярс  мясяляйя  бахырлар.  Щяр 
щансы  бир  мцсбят  мцяййян  П  матриси  верилир  (садялик  цчцн 
I
P

 

44 
 
ващид матрис шяклиндя гябул етмяк олар) вя (37) матрис тянлийинин 
щяллиндян  Г  тапылыр.  Яэяр,  о  да  мцсбят  мцяййян  матрис  оларса, 
онда систем асимптотик дайаныглыдыр. 
     П симметрик матрис олдуьундан Г матрисини тапмаг цчцн ъями 
2
/
)
1
n
(
n

 тянлик лазым эялир. 
Дейилянляри теорем шяклиндя цмумиляшдиряк. 
    Теорем 3 .  Истянилян  мцсбят  мцяййян  П  матриси  цчцн  (32) 
тянлийини  юдяйян  мцсбят  мцяййян  симметрик  Г  матриси  мювъуд 
оларса, 
Ax
x


 системи  цчцн  координат  башланьыъы  (йяни,  тривиал 
0

x
щялли) бцтювлцкдя асимптотик дайаныглы таразлыг нюгтясидир. 
     Мисал 10. Фярз едяк ки, квадратик (27) формасы верилмишдир: 
          
 
.
3
5
4
)
(
2
2
2
1
2
1
x
x
x
x
V



x
 
Матрис шяклиндя: 
 
 
.
3
2
3
4
)
(
)
(
2
1
2
1













x
x
x
,
x
V x
 
Эюрцндцйц  кими 







3
2
3
4
Q
.  Силвестр  теореминя  ясасян 
1

, 
2

 
минорлары 
0
4

, 
0
6
3
2
3
4


 
сыфырдан бюйцк олдуьундан квадратик форма мцсбят мцяййяндир. 
     Мисал  11.  Фярз  едяк  ки,  тянзимлямя  системинин  сыфыр  олмайан 
башланьыъ шяртлярин тясири алтында сярбяст щярякяти: 
          
 
2
1
1
2
dt
d
x
x
x



 ,  
2
1
2
dt
d
x
x
x



 . 
 
Бурада 










 
 
 
1
1
1
2
A
. 







1
0
0
1
P
 мцсбят  мцяййян  матрис  шяк-
линдя гябул етсяк, (37) матрис тянлийини беля йазмаг олар: 

45 
 










 
 
1
1
1
2






22
12
21
11
q
q
q
q







22
12
21
11
q
q
q
q









 
 
1
1
1
2
=






1
0
0
1
 
21
12
q
q

 олдуьуну нязяря алыб алынмыш матрис тянлийини ачаг: 
 
 
1
q
2
q
2
12
11


, 
 
 
0
q
q
3
q
22
12
11



, 
 
 
1
q
2
q
2
22
12



. 
     Бу  тянликляр  системинин  щялли: 
5
.
0
q
11

, 
0
q
12

, 
5
.
0
q
22

. 
Беляликля,  
 
 







5
.
0
0
0
5
.
0
Q
 
диагонал  матрис олдуьундан мцсбят  мцяййян  матрисдир. Демяли, 
бахылан хятти систем асимптотик дайаныглыдыр.  
 
§ 
9. Qeyri-
xətti sistemlər üçün Lyapunov
 
funksiyasının tərtib olunması
 
 
     Лйапунов  функсийасынын  тяртиб  олунма  гайдасынын  мялум 
олдуьу мцяййян тип гейри-хятти системляря бахаг. 
     Фасилясиз гейри-хяттиликляр. Бязи садя щалларда фасилясиз гейри-
хятти системляр цчцн дя Лйапунов функсийасыны квадратик формада 
гурмаг мцмкцн олур. 
Бир мисала бахаг. Системин тянлийи 
 
 
.
dt
d
,
dt
d
3
1
2
2
2
1
2
1
x
x
x
x
x
x





 
     Системин структур схеми шякил 13-дя эюстярилмишдир. 
 

46 
 
 
Шякил 13. 
 
     Лйапунов  функсийасыны  ашаьыдакы  мцсбят  мцяййян  квадратик  форма 
шяклиндя сечяк: 
2
2
22
4
1
11
q
q
)
(
V
x
x


x
 . 
     Системин трайекторийасы цзяриндя бу функсийанын дяйишмяси  
   
)
(
q
2
)
(
q
4
)
(
V
3
1
22
2
2
1
2
3
1
11
x
x
x
x
x




x

 . 
4
/
1
q
11

, 
2
/
1
q
22

 гябул  етсяк: 
2
2
4
1
)
(
V
x
x


x

.  Бу  функсийа 
0
)
(
V

x

,  йяни  мянфи  мцяййян  функсийа  олдуьундан  координат 
башланьыъы асимптотик дайаныглы таразлыг нюгтясидир. 
     Даща  йцксяк  тяртибли  системляр  цчцн  Лйапунов  функсийасыны  гурмаг 
цчцн конструктив цсуллардан бири олан Д.Шулс цсулу иля таныш олаг. Бу цсул 
В  функсийасынын  вектор  градийентинин  хятти  шякилдя  апроксимасийасына 
ясасланыр: 
 



























































n
nn
2
2
n
1
1
n
n
n
2
2
22
1
21
n
n
1
2
12
1
11
n
2
1
V
V
V
)
(
V
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x



....
..........
..........
..........
  
...
 
x
 
  (38)  
     Бу щалда В-нин тюрямяси (23) цмуми ифадяйя ясасян тяйин олунур: 

47 
 
 
 
)
(
V
V
)
(
V
т
т
x
f
x
x






. 
(39)  
Тярсиня  щярякят  едяряк
)
(
V x

 тюрямясиня  ясасян  уйьун  В 
функсийасыны тапаг: 
.
      
n
0
n
1
n
2
1
n
2
0
2
1
2
1
0
1
1
0
т
n
2
1
d
)
,
,
,
,
(
V
d
)
0
,
,
0
,
,
(
V
d
)
0
,
,
0
,
(
V
d
V
)
(
V





















x
x
x
x
x
x
x




x
x
x
   (40)
 
     Шулс цсулунун тятбигиня бахаг. 
     Мисал 12. Системин сярбяст щярякяти: 
 
 
.
,
3
1
2
2
2
1
x
x
x
x
x







 
     Системин тяртиби 
2
n

 олдуьу цчцн (38)- я ясасян 
 
 














2
22
1
21
2
12
1
11
)
(
V
x
x
x
x
x
    
     Ифадя (39)-я ясасян 
2
1
f
x

, 
3
1
2
2
f
x
x



 олдуьундан 
    
.
)
(
)
(
)
)(
(
)
(
)
(
V
2
2
12
22
2
1
2
1
22
21
11
4
1
21
3
1
2
2
22
1
21
2
2
12
1
11
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
























x

 
     
ij

параметрлярини  еля  сечмяк  лазымдыр  ки,  V  мянфи  мцяййян 
функсийа  олсун,  йяни 
0
)
(
V

x

, 
0
)
,
(
т
2
1


x
x
x
 вя 
0
)
0
(
V


 шярт-
ляри  юдянилсин. 
0
21


, 
12
22



 вя 
2
1
x
x
 вуруьунун  ямсалыны 
2
1
22
21
11
x





 шяклиндя гябул етсяк, мянфи мцяййянлик шяртини 
тямин  етмиш  оларыг.  Конкрет  олараг 
2
21
12




, 
2
22


 гябул 
едяк. Онда 
2
1
11
2
2
x



. Бу щалда  
 
 
            
4
1
2
V
x



. 

48 
 
     Градийентин ифадяси 
 
 











2
1
2
3
1
1
2
2
2
2
2
)
(
V
x
x
x
x
x
     
x
    
     Ифадя (40)-а ясасян  
2
2
2
1
2
1
4
1
2
0
2
1
1
0
3
1
1
2
2
1
d
)
2
2
(
d
)
2
(
V
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x















. 
     Лйапунов функсийасы  В, нязяри щиссядя дейилдийи кими мцсбят 
мцяййян  олмалыдыр.  Бу  хассяни  йохламаг  цчцн  алынмыш  В 
функсийасыны ашаьыдакы кими йазаг: 
 
 
4
1
т
5
.
0
Q
)
(
V
x


x
x
x
. 
 
     Бурада 







1
1
1
1
Q
 вя 
1
1


, 
0
2


 олдуьундан  квадратик 
форма  мцсбят  йарыммцяййяндир,  йяни 
0
Q
т

x
x
.  Икинъи  топланан 
ися мцсбят мцяййян функсийа, йяни  
0
5
.
0
4
1

x
 олдуьундан, В дя 
мцсбят мцяййян функсийа шяклиндя алыныр. 
      Беляликля,  Лйапуновун  2-ъи  теореминин  шяртляри  юдяндийиндян 
0

x
 нюгтяси асимптотик дайаныглы таразлыг нюгтясидир. 
     Гейд едяк ки, 
12
22
4




 гиймятиндя 
 
 
   
2
2
4
1
2
2
V
x
x



. 
 
 
    
4
1
т
Q
)
(
V
x


x
x
x
. 
 
     Бу  щалда 







2
1
1
1
Q
, 
0
1
1



, 
0
1
2



 олдуьундан  квад-
ратик форма мцсбят мцяййян алыныр. 
      Мисал  13.  Инди  Б  дайаныглыг  областынын  (биртяртибли  щалда 

 
интервалынын)  тяйин  олунмасы  мцмкцн  олан  садя  щала  бахаг.  Сис-
тем биртяртибли олуб сярбяст щярякяти ашаьыдакы гейри-хятти диферен-
сиал тянликля йазылыр: 

49 
 
3
dt
d
x
x
x



 . 
 
     Бу  системин 
0

x
, 
1


x
 нюгтяляриндя  йерляшян  цч  таразлыг 
нюгтяси мювъуддур. 
0

x
 нюгтясинин дайаныглыьыны арашдыраг. 
     Лйапунов  функсийасыны 
2
V
x

 шяклиндя  сечяк.  Бу  щалда 
4
2
2
2
V
x
x




. 
V
 функсийасы бцтцн 
0

x
 цчцн мцсбят мцяййян 
функсийа  олса  да,  V  йалныз 
1
|
|

x
 цчцн  мянфи  мцяййяндир.  Де-
мяли,  дайаныглыг  интервалы 
1
1




x
 парчасыдыр.  Бу  о  демякдир 
ки, системин трайекторийалары бу интервала дахил олан бцтцн 
1
|
)
0
(
|

x
 
башланьыъ  вязиййятляриндян  асимптотик  олараг 
0

x
 нюгтясиня 
йахынлашырлар. 
     Цмумиййятля 
V
 вя  V  функсийаларынын  хассяляри  ясасында  да-
йаныглыг  областларыны  тяйин  едяркян  ещтийатлы  олмаг  лазымдыр. 
V
-
нин сечилмясиндян асылы олараг тящлил олдугъа мцряккябляшя биляр.  
     Инди  Лйапунов  функсийасыны 
4
2
5
.
0
V
x
x


 шяклиндя  сечяк. Бу 
щалда 
2
)
(
2
V
x
x




 истянилян 
x
 йчцн  мянфи  мцяййян  функсийа 
шяклиндя  алыныр. 
V
-нин  мцсбят  мцяййянлик  интервалыны  тяйин 
етмяк  щятта  бахылан  садя  щалда  беля,  мцяййян  чятинликля  ялагя-
дардыр. 




4
2
5
.
0
0
x
x
 бярабярсизлийини щялл етсяк аларыг: 
5
.
0


, 
1
|
|

x
 оланда. Демяли, яввялдя олдуьу кими бурада да дайаныглыг 
интервалы 
1
1




x
 парчасыдыр. 
     
)
(0,

 секторунда  мящдуд  олан  гейри-хяттиликляр.  А.И.Лурйе 
1950-ъи  илдя  хятти  обйектдян  вя 


)
,
0
(
)
,
0
(

 секторунда,  йяни 
I,III рцблярдя йерляшян фасилясиз вя йа сыфыр нюгтясиндя биринъи нюв 
кясилмяйя  малик  олан  биргиймятли  гейри-хяттиликдян  ибарят 
системляр  цчцн  Лйапунов  функсийасынын  гурулма  гайдасыны  тяклиф 
етмишдир. 
     Шякил  14-дя 
)
(


 гейри-хяттилийинин  дяйишмя  характери  эюстя-
рилмишдир.  
 

50 
 
 
Şəkil 14 
     Гейри-хяттилик ашаьыдакы шяртляри юдяйир: 
0
)
(



  яэяр  
0


,                      (41) 
 
0
)
0
(


     яэяр  
0


.                      (42) 
     Сыфыр  нюгтясиндя,  кясилян  характеристикаларын  гейри-мцяййян-
лийиня  бахмайараг  онлар  цчцн  дя  (42)  шяртини  гябул  етмяк  ла-
зымдыр. 
     Бирюлчцлц  тянзимлямя  системинин  структур  схеми  шякил  15-дя 
эюстярилмишдир.  
 
Шякил 15 
 
     Дайаныглыьы  тядгиг  етдикдя  хариъи  гцввя  кими  тапшырыг  тясирини 
сыфыр  гябул  едиб  системин  сыфыр  олмайан  башланьыъ  шяртлярин  тясири 
алтында сярбяст щярякятиня бахырлар.    
     Шякилдя 1 

 статик (йаддашсыз) гейри-хятти тянзимляйиъидир. 
Структур чевирмялярин кюмяйи иля хятти щиссяляри: 
)
s
(
W

 обйекти, 
)
s
(
H

 якс ялагяни, 
)
s
(
G

 гейри-хяттилийин 








2
1
c
c
   хятти 
аргументини  формалашдыран  блокун  ютцрмя  функсийаларыны 
)
s
(
W
х
 
хятти блокда бирляшдирсяк шякил 16-да эюстярилмиш еквивалент схеми 
алмыш оларыг. 

51 
 
 
Şəkil 16 
 
     Системин вязиййятляр координатларында йазылышы: 
 
 
Bu
A


x
x

,                                       (43)  
)
(
u



, 
x
т
c


, 
1
y
x

. 
     Бурада 
т
n
2
1
)
,
,
,
(
x
x
x


x

 н-юлчцлц  вязиййят  вектору; 
u

   скалйар  идаря  тясири; 


 дяйишмя  функсийасы; 
т
n
2
1
)
,с
,
,с
с
(
с



 н-
юлчцлц  вектор; 
)
(

 
  фасилясиз  вя  йа  парчада  кясилмяз  гейри-
хяттилик;  y

 системин чыхыш кямиййятидир. 
     
0
)
(



, 
0


 шярти  бу  щасилин  мцсбят  мцяййянлийини, 
0
)
0
(


, 
0


 шярти  ися 
x
x
А


олдуьундан йеэаня  таразлыг  нюг-
тясинин 
0

x
 нюгтяси олдуьуну тямин едир. Демяли, 
0

x
 нюгтяси 
дайаныглы оларса, (43) гейри-хятти системи бцтювлцкдя, йяни мцтляг 
дайаныглы систем олур. 
      Чыхыша  нязярян  йазылмыш  тянликдян  вязиййят  дяйишянляриндя 
йазылмыш (38) тянлийиня кечидя аид бир мисала бахаг. Фярз едяк ки, 
икиюлчцлц обйектин чыхыша нязярян йазылмыш тянлийи: 
bu
y
a
y
a
y
2
1






. 
     Яввялъя 
y
1

х
, 
y
2


х
 гябул  едиб,  обйектин  тянлийини  вязий-
йятляр дяйишянляриндя йазаг: 
 
 
.
bu
a
a
,
2
1
1
2
2
2
1





х
х
х
х
х


                   
(44) 
     Фярз  едяк  ки,  гейри-хяттилик  йалныз  хятанын  юзцндян  асылыдыр: 
)
(
u



, 
y
g



 

 тянзимлямя  хятасыдыр. 
0
g

 олдуьундан 
1
y
x





 вя 
)
(
u
1
x



.  Бу  щалда 
1
x



.  (44)-я  уйьун 

52 
 
гапалы тянзимлямя системинин тянлийи:  
 
.
y
,
)
(
b
a
a
,
1
1
2
1
1
2
2
2
1
х
х
х
х
х
х
х









                        
(45) 
     Уйьун системин структур схеми шякил 17-дя эюстярилмишдир. 
 
 
Шякил 17. 
 
     Тянликляр  системи  (43)  иля  йазылан  системляр  цчцн  Лйапунов 
функсийасы  квадратик  форма  иля 
)
(


 гейри-хяттилийин  интегралынын 
ъями шяклиндя гябул олунур: 
 
 









0
т
d
)
(
Q
)
,
(
V
x
x
x
                                
(46) 
     Бурада  Г 

  мцсбят  мцяййян  симметрик  матрис, 
0


.  (41),  (42) 
шяртляринин  сайясиндя  икинъи  топланан  да   
0
d
)
(
0






.  Йяни  мцсбят 
мцяййян  функсийадыр.  Щяр  ики  топланан  мцсбят  мцяййян  функсийа 
олдуьундан  (46)  шяклиндя  сечилмиш  Лйапунов  функсийасы  мцсбят 
мцяййян функсийадыр, йяни 
0
)
,
(
V


x
, 
0

x
, 
0
)
0
(
V

. Дяйишянляр 
x
 вя 

 артдыгъа 
const
c
)
,
(
V



x
 бярабяр  сявиййя  хятляринин 
гиймяти артараг бцтцн фязаны долдурур. 
     Систем  (43)-  ин  дайаныглы  олмасы  цчцн   
)
,
(
V

x

 мянфи  мцяййян 
функсийа олмалыдыр, йяни 
0
)
,
(
V


x

, 
0

x
, 
0
)
0
(
V


. 

53 
 
     Ифадя (46)-я ясасян 
)
,
(
V

x

 функсийасыны тяйин едяк: 
;
 
)
(
)
(
Р
Р
  
          
)
d
)
(
(
)
Q
(
)
,
(
V
x
т
0
т






















x
x
x
x
x
                      
(47) 
 
 
. 
, 
, 
)]
(
B
A
[
c
c
QB
Q
B
P
QA
Q
A
P
т
т
т
т
x
т










x
x
x
x


                                       
(48) 
      V
  тюрямясинин мянфи мцяййян олмасы шярти 
т
c  параметрини вя 

 кямиййятини  сечмякля  йериня  йетирилир.  Лайищя  мясяляляриндя 
обйектин  А  вя  Б  параметрляри  габагъадан  мялум  олмадыьындан 
онлары да 
0
)
,
(
V


x

 шяртинин юдянилмясиня табе етмяк олар. 
     Бу цсулун ясас мцсбят хцсусиййяти ондан ибарятдир ки, 
)
,
(
V

x

 
функсийасынын мянфи мцяййян олуб-олмамасыны арашдырдыгда 
)
(


 гейри-
хяттилийинин конкрет шяклини билмяк тяляб олунмур. Онун йалныз (41), (42) 
шяртлярини юдяйян гейри-хяттиликляр синфиня дахил олмасы кифайятдир. 
     Мисал 14. Шякил 18-дя  эюстярилян вя хятти щиссясинин ютцрмя функсийасы 
)
1
Ts
(
s
b
)
s
(
W
x


 
олан  (яталятли-интеграллайыъы  манга)  вя 
)
(


 гейри-хяттилийя  малик 
олан  гейри-хятти  тянзимлямя  системинин  таразлыг  вязиййятинин 
дайаныглыг шяртини тяйин етмяли. 
 
Шякил 18 

54 
 
     Хятти щиссянин (

обйектин

) чыхыша нязярян йазылмыш диференсиал 
тянлийи: 
bu
y
y
T





. 
     
y
1

х
, 
y
2


х
 гябул  едиб,  хятти  щиссянин  тянлийини  вязиййятляр 
координатларында йазаг: 
.
y
,
u
T
b
T
1
,
1
2
2
2
1
х
х
х
х
х







 
     Шякилдян  эюрцндцйц  кими,  гапалы  системдя  гейри-хяттилик 

 
хятасынын юзцндян асылыдыр, йяни 
)
(


 шяклиндя. Гапанма тянлийини 
y
g



 вя 
0
g

 щалында 
1
y
х





.  Гейри-хятти  характеристи-
канын тяк функсийа олдуьуну нязяря алсаг, 
)
(
u
1
х



. Эюрцндц-
йц  кими,  бу  щалда 
1
х


,  демяли, 
)
0
,
1
(
с
т

.  Гапалы  системин 
вязиййятляр координатларында тянлийи:  
.
)
(
T
b
T
1
,
1
2
2
2
1
х
х
х
х
х







 
Бурада 








T
/
1
1
0
0
А
,  








T
/
b
0
B
,  
)
0
,
1
(
с
т

 . 
     Лйапунов  функсийасы  цчцн 







2
/
1
0
0
0
Q
 гябул  етсяк,  (46)-ya 
ясасян йазмаг олар: 
 
 







1
0
2
2
d
)
(
2
1
V
x
x
. 
     Бу  функсийанын  тюрямясини  тапмаг  цчцн  (47)  ифадясиндян 
истифадя едяк. 


,
P
 вя 
x
P  ифадяляри (
48)-йя ясасян тапырыг: 

55 
 
 








T
/
1
1
0
0
P
,  
2
x
T
b
P
x


, 
2
x



. 
     Гейд  едяк  ки, 


 тюрямясини  (48)  ифадясинин  кюмяйи  иля  дя 
щесабламаг  оларды. 
1
x


 олдуьундан  асанлыгла  тяйин  етмяк 
мцмкцндцр: 
2
1
x
x





. 
     Беляликля, 
 
 
)
(
)
(
T
b
T
1
V
1
2
1
2
2
2
x
x
x
x
x








. 
T
k


 гябул  етсяк, 
0
T
1
V
2
2



x

 аларыг.  V  бцтцн  вязиййят 
мцстявисиндя мянфи мцяййян функсийа олдуьундан, бахылан систе-
мин 
0
)
,
(
т
2
1


x
x
x
 таразлыг  вязиййяти  бцтювлцкдя  асимптотик  да-
йаныглы нюгтядир.