Qo`shish va ko`paytirish teoremalarning natijalari. Birgalikda bo`lgan hodisalar ehtimollari uchun qo`shish teoremasi. To`la ehtimol formulasi

Binomial taqsimot.
Faraz qilaylik, n ta erkli sinash o‘tkazilayotgan bo‘lib, ularning har birida A hodisa ro‘y berishi yoki ro‘y bermasligi mumkin bo‘lsin. Har bir sinashda hodisaning ro‘y berishi o‘zgarmas va p ga teng(demak, hodisaning ro‘y bermaslik ehtimoli q=1-p ga teng). X diskret tasodifiy miqdor sfatida bu sinashlarda A hodisaning ro‘y berish sonini olamiz.
O‘z oldimizga X miqdorning taqsimot qonunini topish masalasini qo‘yamiz. Bu masalani hal etish uchun X ning mumkin bo‘lgan qiymatlari va ularning ehtimollarini aniqlash talab qilinadi.
Ko‘rinib turibdiki, n ta sinashda A hodisa yo ro‘y bermaydi, yoki 1 marta, yoki 2 marta, yoki n marta ro‘y berishi mumkin. Shunday qilib, X ning mumkin bo‘lgan qiymatlari quyidagicha:
x₁=0; x₂=1; x₃=2, … ,x_n+1=n
Bu mumkin bo‘lgan qiymatlarning ehtimollarini topish qoldi, buning uchun Bernulli formulasidan foudalanish yetarlidir:

bu yerda k=0; 1; 2; 3; …;n.

Bernulli formulasi izlanayotgan taqsimot qonuning analitik ifodasidir.
Ehtimollarni binomial taqsimoti deb, Bernulli formulasi bilan aniqlanadigan ehtimollar taqsimotiga aytiladi.
Qonunning “binomial” dyeilishiga sabab, formulaning o‘ng tomonini N`yuton binom yoyilmasining umumiy hadi sfatida qarash mumkin:

Shunday qilib, yoyilmaning birinchi pⁿ hadi qaralayotgan hodisaning n ta sinashda n marta ro‘y berish ehtimolini, np^n-1 ikkinchi hadi hodisaning n-1 marta ro‘y berish ehtimlini, oxirgi qⁿ hadi hodisanng bir marta ham ro‘y bermaslik ehtimolini aniqlaydi.

Binomial qonunini jadval ko‘rinishida yzamiz:

X	n	n-1	…	k	…	0
P	p^n	np^n-1q	…		…	q^n

Misol. Tanga ikki marta tashlandi. Gerbli tomon tushish sonini bildiruvchi X tasodifiy miqdorning taqsimot qonunini jadval ko‘rinishida yozing.

Yechish. Tangani har tashlashda gerbli tomon tushish ehtimoli , demak, gerbli tomon tushmaslik ehtimoli .
Tangani ikki marta tashlaganimizda gerbli tomon yo 2 marta, yoki bir marta tushishi mumkin, yoki gerbli tomon mutloq tushmasligi mumkin. Shunday qilib, X ning mumkin bo‘lgan qiymatlari quyidagicha:
x₁=2, x₂=1, x₃=0.
Bu mumkin bo‘lgan qiymatlarining ehtimollarini Bernulli formulasidan foydalanib topamiz:

Izlanayotgan taqsimot qonunini yazamiz:

X	2	1	0
P	0,25	0,5	0,25

Tekshirish: 0,25+0,5+0,25=1