Qovushoq suyuqlik gidrodinamikasi

7.3. Qovushoq suyuqlikning gidromexanik tenglamalari sistemasi 

a)  Qovushoq  suyuqlik  tenglamalarining  umumiy  sistemasi. 

Kuchlanish tenzori komponentalari uchun (7.2) va (7.5) tengliklar o‘rinli 

bo‘lsin. 

Tenglamalar sistemasi quyidagilardan iborat bo‘ladi: 

● uzviylik tenglamasi 







t

d

d

0

div



u



;                                          (7.12) 

● tutash muhitning harakat tenglamasi 

z

p

y

p

x

p

F

t

d

u

d

nz

ny

nx



































;                               (7.13) 

● energiya tenglamasi (5.2-banda qarang) 

z

t

y

t

x

t

z

u

p

y

u

p

x

u

p

t

d

de

z

y

x

nz

ny

nx





























































;                (7.14) 

● issiqlik o‘tkazuvchanlikning Furye qonuni (5.2-banda qarang) 

;

,

,

z

T

k

t

y

T

k

t

x

T

k

t

z

y

x



















                             (7.15) 

● holat tenglamasi 

0

)

,

,

(



T

p

f



.                                               (7.16) 

Bu  tenglamalarga    e  –  ichki  energiya,   





,

-  qovushoqlik  va    k  – 

issiqlik 

o‘zkazuvchanlik  koeffisientlarining  quyidagi  ifodalarini 

biriktiramiz: 

)

,

(

),

,

(

),

,

(

),

,

(

T

p

k

k

T

p

T

p

T

p

e

e

















. 

Bunda 

F



 massaviy  kuchlar  maydoni  va 



  funksiyaning  ifodasi 

ma’lum deb faraz qilinadi. 

Shunday  qilib,  (7.2),  (7.5),  (7.15)  ifodalarni  (7.12)  –  (7.14),  (7.16) 

tenglamalarga  qo‘ysak  oltita 

T

p

u

u

u

z

y

x

,

,

,

,

,



 noma’lumli  oltita 

tenglama-lar sistemasiga kelamiz. Agar (7.16) da noma’lumlardan birini 

qolgan  ikkitasi  orqali  ifodalash  mumkin  bo‘lsa,  u  holda  (7.12)-(7.14) 

tenglama-lardan  besh  noma’lumli  beshta  tenglamalar  sistemasini  hosil 

qilamiz. 

b)  Bir  jinsli  siqilmaydigan  qovushoq  suyuqlikning  gidromexanik 

tenglamalari  sistemasi.  Faraz  qilaylik,  bir  jinsli  (

const





0





) 

siqilmaydigan  (

0



t

d

d



,  bunga  ko‘ra 

0

div



u



)  qovushoq  suyuqlikning 

qovushoqlik (



) va issiqlik o‘tkazuvchanlik (k) koeffisientlari o‘zgarmas 

bo‘lsin. Kuchlanish tenzori komponentalari uchun (7.2) va (7.4) tengliklar 

o‘rinli bo‘ladi. 

Tenglamalar sistemasi quyidagilardan iborat bo‘ladi: 

● uzviylik tenglamasi 

0

div



u



   yoki    

0



















z

u

y

u

x

u

z

y

x

;                   (7.17) 

● harakat tenglamasi (Navye-Stoks tenglamasi) 

u

p

F

a







2

grad

1













;                                (7.18) 

● energiya tenglamasi  

T

k

t

d

dT

c















,                                     (7.19) 

bunda  Furye  qonunidan  foydalanilgan;  e=cT+const  -  energiya; 



  - 

energiyaning hajmiy yutilishi; c – issiqlik sig‘imi; T – temperatura; Ф – 

dissipativ  funksiya  (agar  suyuqlik  tinch  yoki  u  absolyut  qattiq  jismdek 

harakat  qilsa,  ideal  suyuqlik  qaralsa,  u  holda  bu  funksiya  nolga  teng 

bo‘ladi): 































































2

2

2

2

2

2

z

u

y

u

x

u

z

y

x



 

.

2

2

2













































x

u

z

u

y

u

z

u

y

u

x

u

z

x

z

y

x

y

























 

Shunday qilib, qovushoq siqilmaydigan suyuqlik tenglamalari beshta 

(7.17)  -  (7.19)  skalyar  tenglamalar  sistemasi  bo‘lib,  ular  beshta  ushbu 

T

p

u

u

u

z

y

x

,

,

,

,

 noma’lumlarni o‘z ichiga oladi. 

 

c) Energiya tenglamasining xususiy hollari: 

● qo‘zg‘almas suyuqlik (

0

,

0







u



) uchun issiqlik o‘tkazuvchanlik 

tenglamasi 

































2

2

2

2

2

2

z

T

y

T

x

T

k

t

T

c





;                               (7.20) 

●  qo‘zg‘almas  suyuqlikda 

)

(T

k

k



 bo‘lgan  holda  issiqlik 

o‘tkazuvchanlik tenglamasi 





































































z

T

k

z

y

T

k

y

x

T

k

x

t

T

c





.                    (7.21) 

 

Siqiluvchan  muhitning  harakati.  Ko‘p  o‘lchovli  siqiluvchan 

muhitning  gidrodinamika  tenglamalari  konservativ  ko‘rinishda 

quyidagicha yoziladi: 

∂u/∂t + ∂F

x

/∂t + ∂F

y

/∂t + ∂F

z

/∂t = S , 

bu yerda u = {ρ ; ρu

x

 ; ρu

y

 ; ρu

z

 ; ρu

2

/2 + ρε}

T

 – noma’lum funksiyalarning 

ustun–vektori; u

2

 = u

x

2

 + u

y

2

 + u

z

2

; S={0; ρg

x

 ; ρg

y

 ; ρg

z

 ; ρ(u

x

g

x

 + u

y

g

y

+ 

u

z

g

z

}

T

  –  manbalarning  hajmiy  quvvati  vektori;  oqimlar  zichligini 

ifodalovchi vektor bu «tafovut» tashkil etuvchilar: 

(F

x

)

nv

 = {ρu

x

 ; ρu

x

2

 + p ; ρu

y

u

x

 ; ρu

z

u

x

 ; (ε+u

2

/2+p/ρ) ρu

x

}

T

 ; 

(F

y

)

nv

  = {ρu

y

 ; ρu

x

u

y

 ; ρu

y

2

 + p ; ρu

z

u

y

 ; (ε+u

2

/2+p/ρ) ρ u

y

}

T

 ; 

(F

z

)

nv

  = {ρu

z

 ; ρu

x

u

z

 ; ρu

y

u

z

 ; ρu

z

2

 + p ; (ε+u

2

/2+p/ρ) ρ u

z

}

T

 . 

hamda qovushoqlik va issiqlik o‘tkazuvchanlikning molekulyar effektlari 

ta’sirini ifodalovchi tashkil etuvchilar  

(F

x

)

v

 = {0; П



xx

; П



xy

; П



xz

; q

x

 – u

x

 П



xx

 – u

y

 П



yx

 – u

z

 П



zx

}

T

; 

(F

y

)

v

  = {0; П



yx

; П



yy

; П



yz

; q

y

 – u

x

 П



xy

 – u

y

 П



yy

 – u

z

 П



zy

}

T

; 

(F

z

)

v

  = {0; П



zx

; П



zy

; П



zz

; q

z

 – u

x

 П



xz

 – u

y

 П



yz

 – u

z

 П



zz

}

T

 

yig‘indisidan iborat bo‘ladi, ya’ni: 

F = {F

x

; F

y

; F

z

 } = {(F

x

)

nv

+(F

x

)

v

; (F

y

)

nv

+(F

y

)

v

; (F

z

)

nv

+(F

z

)

v

;}. 

Yuqoridagi  munosabatlarda  e  =  ρ(ε+u

2

/2)  –  to‘la  energiyani 

ifodalaydi  va  bu  o‘z  navbatida  energiyaning  saqlanish  qonunini 

qanoatlantiradi: 

∂(ρε+ρu

2

/2)/∂t + 



 {(ρu

2

/2 + ρε +p)u} = 0 , 

bu energiyaning  konservativ  ko‘rinishdagi  tenglamasi bo‘lib,  unda ρε – 

muhit ichki energiyasining zichligi; ρu

2

/2 – muhit og‘irlik markazi kinetik 

energiyasining  zichligi; divergensiya belgisi ostidagi energiya oqimi bu 

og‘irlik markazi kinetik energiyasi oqimi, ichki energiya oqimi va bosim 

bajargan ish yig‘indisidan iborat. 

 

Xususiy hol. Siqiluvchan suyuqlikning bir o‘lchovli oqimini Lagranj 

ko‘rinishida quyidagi tenglamalar bilan tavsiflash mumkin: 



  zichlik             dρ/dt = – ρ∂u/∂x ; 



  impuls             ρ du/dt = – ∂p/∂x ; 



  bosim             d(p/ρ

γ

)/dt = 0. 

Siqiluvchan  gazning  bir  o‘lchovli  oqimini  Eyler  ko‘rinishida 

quyidagi tenglamalar bilan tavsiflash mumkin: 



  zichlik             ∂ρ/∂t = – u ∂ρ/∂x – ρ ∂u/∂x ; 



  impuls             ρ ∂u/∂t = – ρu ∂u/∂x – ∂p/∂x ; 



  bosim             ∂p/∂t = – u ∂p/∂x – γp ∂u/∂x, 

bu yerda ideal gaz uchun holat tenglamasi sifatida ushbu  ε=p/[ρ(γ – 1)] 

sodda  tenglama  ishlatiladi.  Bu  tenglamalarning  o‘ng  tarafidagi  birinchi 

qo‘shiluvchilar uzatishni tavsiflaydi, ikkinchi qo‘shiluvchilar esa siqilish 

bilan bog‘liq. 

 

Nonyuton suyuqliklar modeli. Quyida nonyuton suyuqlik va uning 

modellari haqida qisqacha ma’lumot berib o‘tamiz. 

Agar  nonyuton  suyuqliklarning  oquvchanlik  xossasini  tavsiflashda 

paydo  bo‘ladigan  murakkabliklarni  e’tiborga  olsak,  u  holda  ularning 

klassifikatsiyalanish sistemasi turlicha.  

Suyuqliklarning qo‘yilgan kuchlanishga nisbatan elastik reaksiyasiga 

ega  bo‘lishligiga  qarab  ular  suyuqliklarning  ikkita  asosiy  turiga 

bo‘linadilar: qovushoq-noelastik yoki sof qovushoq;  qovushoq-elastik.  

Nonyuton suyuqliklarning sodda klassifikatsiyasi: 

qovushoq-noelastik yoki sof qovushoq suyuqliklar – bular qo‘yilgan 

yuklanish  olib  tashlangandan  keyin  muhitning  deformatsiyalanishi 

yo‘qolmaydigan,  ya’ni  muhitning  elastiklik  reaksiyasi  bo‘lmaydigan 

suyuqliklar. Bizga ma’lumki, ko‘pgina qattiq jismlar, qo‘yilgan yuklanish 

olib  tashlangandan  keyin,  deformatsiyasi  yo‘qoluvchanligi  bilan 

xarakterlanuvchi  muayyan  elastiklik  reaksiyasi  darajasiga  ega.  Guk 

qonuniga  bo‘ysinuvchan  elastik  qattiq  jism  shunday  sodda  jism  bo‘lib, 

uning deformatsiyasi qo‘yilgan kuchlanishga to‘g‘ri proporsional.  

Qovushoq-noelastik  yoki  sof  qovushoq  suyuqliklarni  xossalari 

vaqtdan  bog‘liq  bo‘lgan  va  xossalari  vaqtdan  bog‘liq  bo‘lmagan 

suyuqliklarga ajratish mumkin: 



 

xossalari  vaqtdan  bog‘liq  bo‘lmagan  suyuqlik  –  bu  siljishning 

davomiyligi qovushoqlik miqdoriga ta’sir etmaydigan suyuqlik: 

  oquvchanlik  chegarasiga  ega  bo‘lmagan  suyuqlik  –  bu  vaqtdan 

bog‘liq  bo‘lmagan  xarakteristikalarli  biror  chegaraviy  kuchlanish 

(oquvchanlik chegarasi) 



0

 ga ega bo‘lgan yoki bo‘lmagan suyuqlik, 

bunda 



0

 – siljishning nolinchi tezligidagi qovushoqligi:  

- psevdoplastik suyuqliklar – bular, agar ular uchun siljish tezligi 

oshishi 

bilan 

tuyiluvchan 

qovushoqligi 

kamayuvchan, 

oquvchanlikning  chegaraviy  kuchlanishiga  ega  bo‘lmagan 

suyuqliklar  (masalan,  kauchuk  qorishmasi,  yelimli  moddalar, 

polimerlar  qorishmasi  va  eritmasi,  yog‘lar,  bo‘yoqlar,  ba’zi 

dispers  farmatsevtik  muhitlar  va  biologik  suyuqliklar  shunday 

xossaga ega). Bunday suyuqliklar uchun siljishning katta tezlikli 

sohalarida  tuyiluvchan  qovushoqligi,  ya’ni  du/dy  ning  katta 

qiymatlari cheksiz katta siljishlardagi qovushoqlik deb ataladi va 

u 





 bilan belgilanadi;  

- dilatant  suyuqliklar  –  bular  siljish  tezligi  oshishi  bilan 

tuyiluvchan  qovushoqligi  o‘suvchan  (siljishi  siyraklashuvchan 

(masalan, 

yuqori-molekulyar 

polimerlar 

qorishmasi, 

bosmaxonaning  ko‘pgina  bo‘yoqlari,  qog‘oz  quyqasi)  va 

quyiltiriluvchan  (masalan,  kraxmal,  kaliy  silikati,  yoyiluvchan 

qum,  qirg‘oqning  nam  qumi,  makkajo‘xori  kraxmali  va  shakar 

qorishmasi,  ikki 

oksidli  titanning  suvli  suspenziyasi)) 

suyuqliklar; 

  oquvchanlik  chegarasiga  ega  suyuqlik,  masalan,  Bingam  plastik 

suyuqligi  uchun  qovushoqlik  siljish  tezligidan  bog‘liq  emas  deb 

hisoblanadi. 



0

  dan  kichik  bo‘lgan  siljish  tezliklari  qiymatlarida 

bunday  suyuqliklar  o‘zlarini  elastik  qattiq  jismdek, 



>



0

  da  esa 

qovushoq suyuqlikdek  tutadilar. Bu xususiyatni shunday izohlash 

mumkin:  tinch  holatdagi  bunday  suyuqlik 



0

  dan  kichik  ixtiyoriy 

kuchlanishga qarama-qarshi turaoladigan biror yetarlicha qattiq uch 

o‘lchovli  tuzilmaga  ega  bo‘ladi.  Kuchlanish  oshishi  bilan  bu 

ko‘rsatilgan ichki tuzilma buziladi va suyuqlikning urimna harakati 

paydo bo‘ladi. Bunday jinsli suyuqliklar: plasmassalar qorishmasi, 

neft  quvurlaridagi  burg‘ulash  shlaklari  (gidrokimyoviy  usullarda 

olinadigan asl (zanglamaydigan) metallarga boy cho‘kindi), yuvish 

suspenziyalsri, tish yuvish pastasi, margarin, har xil ko‘rinishdagi 

oshxona yog‘lari va hokazo.  



 

xossalari  vaqtdan  bog‘liq  suyuqlik  –  bu  siljish  tezligi  ham 

siljishning miqdoridan va ham davomiyligidan bog‘liq bo‘lgan suyuqlik: 

 tiksotrop suyuqlik – bu siljishning o‘zgarmas tezligi va o‘zgarmas 

temperaturaga  ega  vaqt  o‘tishi  bilan  qovushoqlik  kamayishi 

qaytariluchanligiga  olib  keluvchi  suyuqlik  (masalan,  yuqori 

polimerlarning qorishma va eritmasi, neft burg‘ulash quvurlaridagi 

gillar (tog‘ jinslarining yumshoq cho‘kindisi, u suvda qorilsa loyga 

aylanadi, quriganda o‘z shaklida qoladi, pishirilganda toshdek qattiq 

bo‘ladi),  ko‘pgina  oziq-ovqat  mahsulotlari  va  bo‘yoqlar  shunday 

xossaga ega); 

  reopektik  suyuqlik  –  bu  siljishning  o‘zgarmas  tezligi  qovushoqlik 

o‘sishi  qaytariluvchanligiga  olib  keluvchi  suyuqlik  (masalan, 

bentolitli  loy  suspenziyalari,  gips  qorishmalari,  ammoniy  oleatasi