R. M. Turgunbaev matematik analiz
Boshqa ko‘rinishdagi aniqmasliklar
Download 0.89 Mb. Pdf ko'rish
|
matematik analiz
|
3. Boshqa ko‘rinishdagi aniqmasliklar. Ma’lumki, , ) x ( f lim a x 0 = →
) x ( f lim a x ∞ = → bo‘lganda f(x) ⋅
⋅∞ ko‘rinishidagi aniqmaslik bo‘lib, uning quyidagi
56
) x ( f ) x ( g ) x ( g ) x ( f ) x ( g ) x ( f 1 1 = = ⋅ kabi yozish orqali 0 0
∞ ∞ ko‘rinishidagi aniqmaslikka keltirish mumkin. Shuningdek, , ) x ( f lim a x +∞ = →
) x ( g lim a x +∞ = → bo‘lganda f(x)-g(x) ifoda ∞-∞ ko‘rinishidagi aniqmaslik bo‘lib, uni ham quyidacha shakl almashtirib ) x ( g ) x ( f ) x ( f ) x ( g ) x ( g ) x ( f 1 1 1 1 ⋅ − = − 0 0 ko‘rinishdagi aniqmaslikka keltirish mumkin. Ma’lumki, x →
∞ ga, g(x) funksiya esa mos ravshda ∞, 0 va 0 intilganda (f(x)) g(x) darajali-ko‘rsatkichli ifoda 1 ∞ , 0
0 ,
∞ 0
ko‘rinishidagi aniqmasliklar edi. Bu ko‘rinishdagi aniqmasliklarni ochish uchun avval y=(f(x)) g(x) ni logarifmlaymiz: lny= g(x) ⋅
→
ifoda 0
⋅∞ ko‘rinishdagi aniqmaslikni ifodalaydi. Shunday qilib, funksiya hosilalari yordamida 0 ⋅∞, ∞-∞, 1 ∞ , 0 0 , ∞ 0 , ko‘rinishdagi aniqmasliklarni ochi щda, ularni 0 0 yoki ∞ ∞ ko‘rinishidagi aniqmaslikka keltirib, so‘ng yuqoridagi teoremalar qo‘llaniladi. 2-eslatma. Agar f(x) va g(x) funksiyalarning f’(x) va g‘(x) hosilalari ham
qanoatlantirsa, u holda ) x ( ' ' g ) x ( ' ' f lim ) x ( ' g ) x ( ' f lim ) x ( g ) x ( f lim a x a x a x → → → = = tengliklar o‘rinli bo‘ladi, ya’ni bu holda Lopital qoidasini takror qo‘llanish mumkin bo‘ladi.
2 1 0 x x x tgx lim → limitni hisoblang. Yechish. Ravshanki, x →0 da
2 1
x tgx ifoda 1 ∞ ko‘rinishdagi aniqmaslik bo‘ladi. Uni logarifmlab, 0 0 aniqmaslikni ochishga keltiramiz: 57
. x х sin lim x x sin x cos lim )' x ( )' x cos x sin x ( lim x x cos x sin x lim x x tgx x cos x tgx x lim )' x ( )' x tgx (ln lim x x tgx ln lim y ln lim x x x x x x x x 3 1 2 6 1 2 6 1 3 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 0 2 2 2 0 3 0 3 0 2 2 0 2 0 2 0 0 = ⋅ = = + − = − = = − = − ⋅ = = = → → → → → → → →
Demak, 3 3
1 0 2 e e x tgx lim x x = = → .
Misollar 1. Quyidagi limitlarni hisoblang: a) 7
4 3 5 3 3 2 3 + + + − ∞ → x x x x lim x ; b) x ) x ln(sin lim / x 2 2 − → π π ; c)
− − → x ln x lim x 1 1 1 1 ; d) 4 2 2 x tg ) x ( lim x π − → ; e) x x x lim + →0 ; f) x x ) x ( lim 1 1 + +∞ → .
3-§ Teylor formulasi
Teylor formulasi matematik analizning eng muhim formulalaridan biri bo‘lib, ko‘plab nazariy tatbiqlarga ega. U taqribiy hisobning negizini tashkil qiladi. 1. Teylor ko‘phadi. Peano ko‘rinishdagi qoldiq hadli Teylor formulasi. Ma’lumki, funksiyaning qiymatlarini hisoblash ma’nosida ko‘phadlar eng sodda funksiyalar hisoblanadi. Shu sababli funksiyaning x
uchun uni shu nuqta atrofida ko‘phad bilan almashtirish muammosi paydo bo‘ladi. Nuqtada differensiallanuvchi funksiya ta’rifiga ko‘ra agar y=f(x) funksiya x
nuqtada differensiallanuvchi bo‘lsa, u holda uning shu nuqtadagi orttirmasini ∆
∆
∆
ko‘rinishda yozish mumkin. Boshqacha aytganda x
nuqtada differensiallanuvchi y=f(x) funksiya uchun birinchi darajali
ko‘phad mavjud bo‘lib, x →
da f(x)=P 1 (x)+o(x-x 0 ) bo‘ladi. Shuningdek, bu ko‘phad P 1 (x 0 )=f(x 0 ), P 1 ’(x 0 )=b=f’(x 0 ) shartlarni ham qanoatlantiradi.
Endi umumiyroq masalani qaraylik. Agar x=x 0 nuqtaning biror atrofida aniqlangan y=f(x) funksiya shu nuqtada f’(x), f’’(x), ..., f
bo‘lsa, u holda f(x)=P n (x)+o(x-x 0 ) (3.2) 58
shartni qanoatlantiradigan darajasi n dan katta bo‘lmagan P n (x) ko‘phad mavjudmi?
Bunday ko‘phadni P n (x)=b 0 +b 1 (x-x 0 )+b 2 (x-x 0 ) 2 + ... +b n (x-x 0 ) n , (3.3) ko‘rinishda izlaymiz. Noma’lum bo‘lgan b
koeffitsientlarni topishda P n (x 0 )=f(x 0 ), P n ’(x 0 )=f’(x 0 ), P n ’’(x 0 )=f’’(x 0 ), ..., P n (n) (x 0 )=f (n) (x 0 ) (3.4) shartlardan foydalanamiz. Avval P n (x) ko‘phadning hosilalarini topamiz: P n ’(x)=b 1 +2b 2 (x-x 0 )+3b 3 (x-x 0 ) 2 + ... +nb n (x-x 0 ) n-1 , P n ’’(x)=2 ⋅
2 +3 ⋅
3 (x-x 0 )+ ... +n ⋅
n (x-x 0 ) n-2 , P n ’’’(x)=3 ⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
n . Yuqorida olingan tengliklar va (3.3) tenglikning har ikkala tomoniga x o‘rniga x
ni qo‘yib barcha b 0 , b 1 , b 2 , ..., b n koeffitsientlar qiymatlarini topamiz: P n (x 0 )=f(x 0 )=b 0 , P n ’(x 0 )=f’(x 0 )=b 1 , P n ’’(x 0 )=f’’(x 0 )=2 ⋅
2 =2!b 2 , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P n (n) (x 0 )=f (n) (x 0 )=n ⋅
⋅
⋅
⋅
Bulardan b 0 =f(x 0 ), b 1 =f’(x 0 ), b 2 = ! 2 1 f’’(x 0 ), . . ., b n = ! n 1
(n) (x 0 ) hosil qilamiz. Topilgan natijalarni (3.3) qo‘yamiz va P n (x)= f(x 0 )+ f’(x 0 )(x-x 0 )+ ! 2 1 f’’(x 0 )(x-x 0 ) 2 + ... + ! n 1
(n) (x 0 )(x-x 0 ) n , (3.5) ko‘rinishda ko‘phadni hosil qilamiz. Bu ko‘phad Teylor ko‘phadi deb ataladi.
Teylor ko‘phadi (3.2) shartni qanoatlantirishini isbotlaymiz. Funksiya va Teylor ko‘phadi ayirmasini R n (x) orqali belgilaymiz: R n (x)=f(x)-P n (x). (3.4) shartlardan R n (x 0 )=R n ’(x 0 )=...= R n (n) (x 0 )=0 bo‘lishi kelib chiqadi. Endi R n (x)=o((x-x 0 ) n ), ya’ni 0
x lim →
n ) x x ( ) x ( R 0 − =0 ekanligini ko‘rsatamiz. Agar x →
0 bo‘lsa, 0
→
n ) x x ( ) x ( R 0 − ifodaning 0/0 tipidagi aniqmaslik ekanligini ko‘rish qiyin emas. Unga Lopital qoidasini n marta tatbiq qilamiz. U holda 0
→
n ) x x ( ) x ( R 0 − = 0
x lim → 1 0 − − n n ) x x ( n ) x ( ' R =…=
0 x x lim →
x x ( ! n ) x ( R ) n ( n 0 1 − − = = 0
x lim →
n ) x ( R ) n ( n =
n ) x ( R ) n ( n 0 =0, demak x → x 0 da R n (x)=o((x-x 0 ) n ) o‘rinli ekan.
Shunday qilib, quyidagi teorema isbotlandi: Teorema. Agar y=f(x) funksiya x 0 nuqtaning biror atrofida n marta differensiallanuvchi bo‘lsa, u holda x →
0 da quyidagi formula f(x)= f(x 0 )+ f’(x 0 )(x-x 0 )+ ! 2 1 f’’(x 0 )(x-x 0 ) 2 + ... + ! n 1
(n) (x 0 )(x-x 0 ) n +o((x-x 0 ) n ) (3.6) o‘rinli bo‘ladi, bu erda R n (x)=o((x-x 0 ) n ) Peano ko‘rinishidagi qoldiq had. |
