Распространение новых или инвазивных видов является центральной темой экологии, и значительные исследования были посвящены лучшему пониманию природы такого распространения

3.Единственность и существование решения
Для доказательства единственности решения выводим интегральное представление, эквивалентное к (1.8) и (1.9)
.
и
.
Для простоты рассмотрена, случай , .
Теорема 3.1. При выполнении условий теоремы 2.1 решение задачи (1.1)-(1.9) единственно.
Доказательство. Теорема доказывается сначала для малого , а затем устанавливается, что она справедлива для любого . Пусть функции и являются решениями задачи (1.1)-(1.9) и пусть . Для каждой группы решений справедливо (3.1), (3.2).
Рассматривая разность, находим
+
и
+

где - решения между и , т.е

В силу теоремы 2.1 имеем

.
Для разности , получаются задачи


,
,
,


где , , , .
Из задачи (3.5) по принципу максимума находим
,
.
Далее используя полученные результаты оцениваются интегральные члены из (3.3) и (3.4). Затем применяя методы работы [14] завершается доказательство теоремы 3.1.
Теорема 3.2. Пусть выполнены условия теоремы 2.1. Тогда существует решение , , , задачи (1.1)-(1.9).
Доказательство. Для доказательства разрешимости нелинейной задачи можно использовать различные теоремы из
\begin{definition}\textrm{(\cite{Pao} Гл.8, п.1)}.
Пара функций называется квазимонотонной невозрастающей в , если не возрастает по для фиксированных и невозрастающей теории нелинейных уравнений, учитывая, что для нее имеет место теорема единственности классического решения. Мы применим принцип Лерэ-Шаудера \cite{Lad}, установленные априорные оценки для всех возможных решений нелинейных задач и теоремы разрешимости в классах Гельдера для линейных задач. При этом теоремы существования для систем такие же, как и теорема для случая одного уравнения, так как каждое из уравнений можно рассматривать как линейное уравнение относительно и с непрерывными по Гельдеру коэффициентами.
Задача (1.1)- (1.9) рассматривается одновременно с однопараметрическим семейством задач того же типа. Линейная задача определяет преобразование , к которому и применяется принцип Лерэ-Шаудера. Этот оператор нелинеен и зависит от . Его неподвижные точки при являются решениями задачи.
Обозначим через , банахово пространство функций , с нормой , которые удовлетворяют соответствующим начальным и краевым условиям задачи \eqref {215}-\eqref {218} и \eqref {219}-\eqref {222}.

Для каждой функции и любого числа обозначим через , решения линейных задач \eqref {215}-\eqref {218} и \eqref {219}-\eqref {222}, решения которых существуют и единственны, причем , , . При этом в областях и , осуществляется переход к параболическому уравнению с непрерывными по Гельдеру коэффициентами в фиксированной области.

Равномерная непрерывность и вполне непрерывность оператора преобразования относительно , равномерные по оценки для решений и разрешимость линейных задач следуют из установленных априорных оценок норм Гельдера. Техника доказательства подробно продемонстрирована, например, в работах (гл.VI, \cite{Lad}; гл.VII, \cite{Frid}).
Этим и завершается доказательство теоремы.