Ratsional raqamlarga qarshi mantiqsiz

1-misol.

Haqiqiy sonlarning absolyut qiymati (moduli) kabi belgilanadi. haqiqiy sonning absolyut qiymati (moduli) deb, quyidagi shartlarni qanoatlantiruvchi manfiy bo‘lmagan haqiqiy songa aytiladi:

Masalan, .
Har qanday son uchun munosabat o‘rinlidir.
Sonlarning absolyut qiymatining xossalari.
-xossa. Haqiqiy sonlar algebraik yig‘indisining absolyut qiymati qo‘shiluvchilar absolyut qiymatlarining yig‘indisidan katta emas, ya’ni

Haqiqatdan, agar bo‘lsa, u holda
, chunki .
Agar bo‘lsa, u holda

-xossa. Ayirmaning absolyut qiymati kamayuvchi va ayriluvchining absolyut qiymatlari ayirmasidan kichik emas, ya’ni

Haqiqatdan, agar deb olsak, bo‘lib,

Bundan

bo‘ladi.
-xossa. Ko‘paytmaning absolyut qiymati ko‘paytuvchilar absolyut qiymatlarining ko‘paytmasiga teng, ya’ni

-xossa. Bo‘linmaning absolyut qiymati bo‘linuvchi va bo‘luvchi absolyut qiymatlarining bo‘linmasiga teng, ya’ni

Fan va texnikada uchraydigan miqdorlar o‘zgaruvchi yoki o‘zgarmas bo‘lishi mumkin. Masalan, yurib turgan poyezdning bosayotgan masofasi yoki tezligi, isitilayotgan jismning temperaturasi, erib turgan muzning miqdori, yurib turgan mashinada sarf bo‘layotgan benzin miqdori o‘zgaruvchi bo‘ladi. Keltirilgan misollardan yurayotgan poyezdni ko‘rib o‘taylik. Bu holda uning bosayotgan masofasi yoki tezligi, unga sarf bo‘lgan vaqtga qarab o‘zgarib boradi, ya’ni o‘zgaruvchi miqdor bo‘ladi. Holbuki, poyezdning tezligi o‘zgarmas yoki o‘zgaruvchi bo‘lishi mumkin, chunki u bir xil tezlikda yoki borgan sari tezlashib yoki borgan sari sustlashib, yoki goho tezlashib va goho sustlashib yurishi mumkin. Shuning uchun masalada qatnashgan miqdorlardan qaysi birining o‘zgarmas yoki o‘zgaruvchi bo‘lishi ko‘rilayotgan masalaning shartlariga bog‘liqdir, biroq miqdorlarning orasida shundaylari ham uchraydiki ular har xil sharoitda o‘z qiymatini saqlab o‘zgarmas bo’lishi mumkin. Masalan, har qanday uchburchakda ichki burchaklarning yig‘indisi ga teng, har qanday aylana uzunligini uning diametriga nisbati ga tengdir.