Различные расположения прямой на плоскости Коллинеарные прямые

Различные расположения прямой на плоскости
Коллинеарные прямые.
Две прямые называются коллинеарными, если они параллельны или совпадают.
Получим условие коллинеарности двух прямых и , заданных общими уравнениями:
; ;
Необходимым и достаточным условием коллинеарности прямых является условие коллинеарности их нормалей и .
Следовательно, если прямые (1) коллинеарны, то , т.е. сушествует такое число , что
и наоборот.
Прямые совпадают, если помимо этих условий справедливо . Тогда первое уравнение в (1) имеет вид т.е. равносильно второму, поскольку .
Таким образом, прямые (1) параллельны тогда и только тогда, когда соответствующие коэффициенты при неизвестных в их уравнениях пропорциональны, т.е. существует такое число , что , , но
. Прямые (1) совпадают тогда и только тогда, когда все соответствующие коэффициенты в их уравнениях пропорциональны:
, ,
Условия параллельности или совпадения прямых (1) можно записать в виде

Условие коллинеарности двух прямых (1) можно записать в виде
=
Линии уровня линейного трехчлена

Линией уровня функции двух переменных называется геометрическое место точек координатной плоскости Oxy, в которых функция принимает постоянное значение, т.е. .

Для линейного трехчлена

уравнение линии уровня имеет вид

При любом фиксированном значении постоянной уравнение (2) описывает прямую. Рассмотрим поведение семейства линий уровня, отличающихся значением постоянной. Поскольку коэффициенты и не изменяются, то у всех прямых (2) будет одна и та же нормаль
.
Следовательно, линии уровня линейного трехчлена

представляют собой семейство параллельных прямых. Поскольку нормаль совпадает с градиентом, а градиент направлен в сторону наискорейшего возрастания функции, то при увеличении постоянной линии уровня (2) переносятся параллельно в направлении нормали.

Пересекающиеся прямые

Необходимым и достаточным условием пересечения двух прямых (1) является условие неколлинеарности их нормалей, или, что то же самое, условие непропорциональности коэффициентов при неизвестных:

При этом условии система уравнений

имеет единственное решение , которое определяет точку пересечения прямых

Угол между прямыми

Углом между двумя прямыми на плоскости называется угол между их направляющими векторами. По этому определению получаются не один угол, а два смежных угла, дополняющих друг друга до . В элементарной геометрии из двух смежных углов, как правило, выбирается меньший, т.е. величина угла между двумя прямыми удовлетворяет условию

.
Если и направляющие векторы прямых и соответстве, то величина угла между этими прямыми вычисляется по формуле:

Чтобы получить величину острого угла между прямыми, нужно правую часть взять по абсолютной величине:

Угол между прямыми (1) можно вычислить как угол между их нормалями ;
и


Чтобы получить величину острого угла между прямыми, нужно правую част взять по абсолютной величине:



Необходимым и достаточным условием перпендикулярности прямых (1) является условие ортогональности их нормалей, т.е. равенства нулю скалярного произведения их нормалей