Разова­ние Процесс формирования навыков тождественных преобразований

4.2. Определения понятий «тождество» и
«тождественное преобразова­ние»
Первое определение тождества дается в 7-м классе.
Определение Равенство, верное при любых значениях переменной, называ­ется тождеством.
Данное определение компактно и хорошо, когда учащиеся работают с целыми рациональными выражениями. Так равенства вида а² /а = а или не подходят под это определение, поэтому его необходимо уточ­нить, и в 8-м классе в теме «Рациональные дроби» дается уже другое определе­ние: Равенство, верное при всех допустимых значениях, входящих в него пе­ременных.
Наиболее общим является следующее определение: Равенство, верное при любых значе­ниях переменных, принадлежащих некоторому множеству , называется тождест­вом на этом множестве.
Данное определение раскрывает суть тождества с теоретико-функциональной точки зрения.
Например, (а+в)² = а²+2ав+в² - тождество на R;
- тождество на R⁺;
- тождество при х>0
Некоторые тождества выбираются как основные, с их помощью доказыва­ются остальные тождества и рассматриваются свойства операций, ис­тинность которых принимается в качестве аксиом (коммутативность, ассоциа­тивность, дистрибутивность, существование противоположного элемента и др.)
Различают понятия:
Тождества-равенства (формулы сокращенного умножения, свойства степени с натуральным показателем и др.)
Тождества-действия (вынесение общего множителя за скобку, приведение подобных слагаемых и др.) или тождественные преобразования.
Замена одного выражения другим, тождественно равным ему, называется тождественным преобразованием.
К тождественным преобразованиям можно отнести, например, приведение подобных слагаемых, разложение на множители, сокращение дробей и так далее.

4.3. Процесс формирования навыков
тождественных преобразований
Содержание линии тождественных преобразований выделяется в настоящее время достаточно четко. В нее входят: изучение тождеств в числовой системе, их применение к упрощению выражений и решению уравнений, изучение тождеств в классе элементарных функций. Организация изучения отдельных тождеств пред­полагает использование специальных циклов заданий. Цикл заданий на материале конкретной темы характеризуется соединением в последовательность упражнений нескольких аспектов изучения и приемов расположения материала. Применительно к тождественным преобразованиям представление о цикле может быть дано следующим образом. Задания связаны с изучением одного тождества, вокруг ко­торого группируются другие тождества, находящиеся с ним в естественной связи. В состав цикла, наряду с исполнительными, входят задания, требующие распозна­вания применимости рассматриваемого тождества. Изучаемое тождество применя­ется для проведения вычислений на различных числовых областях. Учитывается специфика тождества.
Задания в цикле разбиты на две группы.
I группа. Задания, выполняемые при первоначальном знакомстве с тождест­вом. Это материал для нескольких идущих подряд уроков. Это этап усвоения тож­дества, запоминания его словесной формулировки, выработки навыка его приме­нения в хорошо видной ситуации.
II группа связывает изучаемое тождество с различными его применениями. Это этап углубленного понимания тождества за счет рассмотрения его в разнооб­разных ситуациях в сочетании с использованием материала, относящегося к дру­гим темам школьного курса.
Рассмотрим систему упражнений для усвоения тождества