Referat mavzu: Ikkita vektorning skalyar va vektor ko'paytmalari va ularning xossalari

Pi

O'ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY VA O RTA MAXSUS TALIM VAZIRLIGI TOSHKENT TO'QIMACHILIK VA YENGIL SANOAT

INSTITUTI

“OLIY MATEMATIKA” kafedrasi

REFERAT

Mavzu: Ikkita vektorning skalyar va vektor ko'paytmalari va ularning xossalari.

7-16 guruh Bajardi: Sh.Abdushukurov Tekshirdi: Sh.Ruzmanov

Toshkent 2016





Vektorlar va ular ustida amallar. Vektorlarning skalyar ko’paytmasi

Sonli qiymatlari bilan to’liq aniqlanadigan kattaliklar skalyar kattaliklar deb ataladi.

Ham sonli qiymati, ham yo’nalishi bilan aniqlanadigan kattaliklar vektor kattaliklar deyiladi.

Skalyar kattaliklar a, b, c,... kabi harflar bilan, vektor kattaliklar a, b, c,... yoki bu harflarni qalin bo’yalganlari a, b, c,... bilan belgilanadi.

Geometrik nuqtayi nazardan vektorlar yo’naltirilgan kesmalar singari qaraladi. Boshi A nuqtada va oxiri B nuqtada bo’lgan yo’naltirilgan kesma bilan aniqlanadigan vektor AB kabi belgilanadi. Bunda A nuqta vektoming boshi, B nuqta esa vektorning uchi (oxiri) deyiladi. Bu yerda AB kesmaning uzunligi vektoming modulini ifodalaydi, ya’ni |j

Har qanday a vektorning sonli qiymati uning moduli yoki uzunligi deyiladi va \a | kabi belgilanadi.

Boshi va uchi bitta nuqtadan iborat bo’lgan vektor nol vektor deyiladi. Uning moduli 101=0 boladi.

Bir to’g’ri chiziqda yoki parallel to’g’ri chiziqlarda joylashgan vektorlar kollinear vektorlar deyiladi.

Nol vektor har qanday a vektorga kollinear deb hisoblanadi.

Quyidagi uchta shartlar bajarilganda a ysl b larni teng vektorlar deyiladi:

1. 
   a || b, ya’ni bu vektorlar kollinear;
   
2. 
   |a |=|bI, ya’ni bu vektorlar bir xil uzunlikka ega;
   
3. 
   a va b vektorlar bir xil yo’nalishga ega.
   


a vektor OX o’q bilan cp burchak tashkil etsin (1-chizma). U holda vektorning bu o’qdagi proyeksiyasi shu vektor uzunligini
burchakning kosinusiga ko’paytmasiga teng bo’ladi. Ya’ni pr_x=|n| ■ c.oscp=\a\ ■ cos(aj^AOX).

Bir necha vektor yig’indisining o’qdagi proyeksiyasi qo’shiluvchi vektorlar

proyeksiyalarining yig’indisiga teng:

Bitta yoki parallel tekisliklarda joylashgan uch va undan ortiq vektorlar komplanar vektorlar deyiladi.

a vektorni A songa ko’paytmasi deb quyidagi uchta shart bilan aniqla­nadigan yangi bir с vektorga aytiladi:

1. 
   |c|=|A| ■ \a I, ya’ni a vektorning uzunligi \A\ martao’zgaradi.
   
2. 
   с || a, ya’ni bu vektorlar kollinear;
   
3. 
   A > 0 bo’lsa, с va a vektorlar bir xil yo’nalgan, A < 0 bo’lsa, с vaSt vektorlar qarama-qarshi yo’nalgan.
   

Vektorlarning songa ko’paytmasi quyidagi xossalarga ega:

1) А(ра) = p(Aa).; 2) (A ± p)a=ld ± pa. 3) 0- a=0.

(-l)o vektor a vektorga qarama-qarshi vektor deyiladi va —a kabi belgilanadi.

a va b vektorlarning yig’indisi deb ABCD parallelogrammning A uchidan chiquvchi diagonalidan hosil qilingan AC vektorga aytiladi vaa +

—э

Ъ kabi belgilanadi (parallelogramm qoidasi) (2-chizma).



2-chizma

Bu yig’indini uchburchak qoidasi deb ataladigan quyidagi usulda ham topish mumkin. Bunda dastlab parallel ko’chirish orqali b vektorning boshi a vektoming uchi ustiga keltiriladi (3-chizma). So’ngra aning boshidan

chiqib b ning uchida tugaydigan vektor hosil qilinadi va u a + b yig’indini ifodalaydi.




3-chizma

Bir nechta а_ъ a₂, a₃,..., a_n (n>3) vektorlarning yig’indisi parallelogramm qoidasini bir necha marta ketma-ket qo’llash bilan topiladi.

Vektorlarni qo’shish amali quyidagi xossalarga ega:

1. 
   a-\- b = b + a.
   
2. 
   (a + b) + с = a + (b + c) = (a + c) + b.
   
3. 
   + b) = Aa + Ab.
   

% —+ _x

4. 
   a + 0 = a.
   

ci va b vektorlarning ayirmasi deb a va -b vektorlarning yig’indisiga aytiladi va u a — b kabi belgilanadi.

a va b vektorlarning ayirmasini ular asosida qurilgan ABCD parallelogrammning kichik BD diagonali sifatida ham qarash mumkin (4- chizma).




4-chizma

Tekislikda XOY to’g’ri burchakli Dekart koordinatalar sistemasini olamiz. Bu tekislikda berilgan har qanday a vektorni sonlar juftligi orqali ifodalash mumkin. Buning uchun mos ravishda OX va OY koordinata o’qlarida joylashgan musbat yo’nalishga ega hamda uzunliklari birga teng bo’lgan i va j vektorlarni kiritamiz (5-chizma).



5-chizma

Kiritilgan t vaj vektorlar birlik vektorlar yoki ortlar deyiladi. a_x va a_v lar ci vektorning koordinata o’qlaridagi proyeksiyalari bo’lib, a vektorni ular orqali d=a_x+a_y=xi+yj ko’rinishda yozish mumkin.

a=x t+y/ ga a vektorning birlik ortlar bo’yicha yoyilmasi, x va у sonlari esa uning koordinatalari deyiladi.

Tekislikda boshi A(xj;yj) va oxiri В(х₂;у2) nuqtada bo’lgan AB vektorning koordinatalari {x₂-x₁;y₂-yi} bo’lib, u AB{x₂-xi;y₂-yi} kabi yoziladi.

Fazoda XOYZ to’g’ri burchakli Dekart koordinatalar sistemasida berilgan a vektorning koordinatalarini aniqlash uchun kiritilgan / va j

—i

ortlarga qo’shimcha 02 o’qida uzunligi birga teng bo’lgan к vektorni olamiz. U holda a vektorni

~a=xi+y^+zk

ko’rinishda yozish mumkin. Bu yerda x, y, z sonlar uchligi fazodagi a vektorning koordinatalari bo’lib uni a{x;y;z} kabi yoziladi.

Fazoda boshi A(x₁;y₁;z₁) va oxiri B(x₂;y₂;z₂) nuqtada bo’lgan AB vektor A3 {x₂- x₁; y₂-y₁;z₂-z₁} ko’rinishda yoziladi.

a{xj; yr, z/j va b{x₂; y₂; z₃} vektorlar teng bo’lishi uchun xj=x₂, yi=y₂ va z₁=z₂ bo’lishi zarur va yetarlidir. Koordinatalari bilan berilgan vektorlarning yig’indisi, ayirmasi va songa ko’paytmasi quyidagicha aniqlanadi.

a{x₁;y₁;z₁}±b{x₂;y₂;z₃} =c{x_I±x₂;y_I +y₂;z₁ ±z₂}, An{Xx,;Xy,;Xz,}.

ШММММММММММММММММММММММММММММММММММММММММММММММШ

Fazodagi XOYZ to’g’ri burchakli Dekart koordinatalar sistemasida boshi O(0;0;0) nuqtada va oxiri M(x;y;z)


nuqtada bo’lgan OM vektomi qaraymiz.

Odatda uni M nuqtaning r=OM radius vektori deyiladi (6-chizma).

Uning uzunligi r = x² + y² + z² formula bilan aniqlanadi va i, /, к lar orqali ?■ = xi - yj - zk kabi yoziladi.

Boshi A(xj; yy zj) va oxiri B(x₂; У2: z₂) nuqtada bo’lgan U=AB vektorning koordinata o’qlaridagi proyeksiyalari mos ravishda X = x₂-x_lr Y = y₂~yi,Z = z₂- z₁ bo’ladi. Uning uzunligi esa

ga teng bo’ladi. Bu holda ham U=AB =Xi+Yj+Zk deb yozish mumkin.

Agar U=AB vektor koordinata o’qlari bilan a, /?, va у burchaklar hosil qilsa, u holda

^x о ^{Y z}

COSGL=~, COSp =~, COSy=-

bo’ladi va ular uchun

cos^Aa + cos^z£> + cos²y—l

o’rinli bo’ladi. Bu yerdagi cosa, cosf> va cosy larni AB vektorning yo’naltiruvchi kosinuslari deyiladi.

Ikkita a va b vektorlarning skalyar ko’paytmasi deb ularning modullari bilan ular orasidagi burchak kosinusining ko’paytmasiga aytiladi.

o. va b laming skalyar ko’paytmasi d ■ b yoki (a,b) kabi belgilanadi. Demak, ta’rifga asosan,

a ■ b =|rl| ■ |й| ■ cos(p Skalyar ko’paytma quyidagi xossalarga ega:

1. 
   d ■ b = b ■ d.
   
2. 
   a ■ a=\a\².
   
3. 
   (Ad)- b=d -(ib).
   

штштштштштшммммммммммтшмммммммммммммммтшш

4. 
   а ■ (jb + с) = а ■ b + а ■ с
   
5. 
   Agar alS bo’lsa, a ■ b = 0 bo’ladi.
   

Agar vektorlar afa_x; a_y; a_zj va b{b_x; b_y; bj koordinatalar orqali berilgan bo’lsa, u holda skalyar ko’paytma quyidagicha bo’ladi:

c. ■ b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z.

Koordinatalari bilan berilgan ikki vektor orasidagi burchak quyidagi formuladan topiladi:

■. —+

"Н Ду ""H Ct'7'

a-b

Ifil lb I

J
coscp

'a_x²+ay²+a_z²- 'b_x²+by^+b_z²

1. 
   — = ^bjL =— ga ikki vektorning parallellik sharti;
   

d-'ji a_y fly

2. 
   a_xb_x + Oyby + a₂b_z=0 ga ikki vektorning perpendikulyarlik sharti deyiladi.
   

Mavzuga doir yechimlari bilan berilgan topshiriqlardan namunalar

1. О AC В to’g’ri to’rtburchakning (7-chizma) OA va OB tomonlariga i va j birlik vektorlar qo’yilgan. Agar О A ning uzunligi 3 ga,



7-chizma

OB ning uzunligi 4 ga teng bo’lsa, OA, AC, СВ, ВО, ОС, va BA, vektorlar i va j orqali ifodalansin.

Yechish: OA ning uzunligi 3 ga teng bo’lgani uchun О A = 3i bo’ladi. AC ning uzunligi 4 ga teng bo’lgani uchun AC = 4j bo’ladi. Lekin CB vektor OA vektorga qarama-qarshi yo’nalgan bo’lgani uchun С В = —3 i bo’ladi. Xuddi shunday BO= -4j bo’ladi. ОС vektor esa OA va AC vektorlar

yig’indisidan iborat. Demak, £)C=3i+4j bo’ladi. BA vektor esa О A va OB vektorlarning ayirmasidan iborat bo’lgani uchun BA=3i-4j bo’ladi.

2. 
   Boshi A(5;-4;2) va oxiri B(7;1;0) nuqtaga joylashgan vektorning koordinatalari topilsin.
   

Yechish: Ma’lumki, boshi A(x₁; y₁; z₁), oxiri B(x₂; y₂; z₂) nuqtada

bo’lgan AB vektorning koordinatalari x=x₂-xj; у=у₂-уу z=z₂-z₁ bo’lar edi. Demak, x=7-5=2, y=l-(-4)=5, z=0-2=-2 bo’lib Al

>(2;5;-2) bo’ladi.

2. 
   Uzunligi 6 ga teng bo’lgan a vektor I o’q bilan у ga teng burchak
   

hosil qiladi. Shu vektorning l o’qdagi proyeksiyasi topilsin.

Yechish: Vektorning o’qdagi proyeksiyasini topish formulasidan

6 ■- = 3.
foydalanamiz. Bizda \a\=6,
=y bo’lganligi uchun

1 1 -* 1	, 2te		- . JT
a ■ cos =	6■cos — 3	—	—6 ■ sin- 6

' ^{1 1} I 3 11 6 2

4. d{l; -3; 5} va bfx; 6; z} vektorlar kollinear bo’lsa, noma’lum koordinatalar topilsin.

by

Яп т




a-


■X. dan


a


x


Yechish: Ikki vektorning kollinearlik sharti

foydalanamiz. Bizda a_x=1, a_y=-3, a_z=5, b_x=x, b_y=6, b_z=z. Bularni o’rinlariga qo’yamiz. U holda ~ ⁼ bo’lib, undan x=-2 va z=-10 kelib chiqadi.

5. 
   a{4; -2; 1} va b{5; 9; 0} vektorlar uchun a + b va a-b lar yozilsin.
   

Yechish: Ma’lumki, a{xy у у zj va b{x₂; y₂; z₂} lar uchun

a ± b = c{xj±x₂; yj±y₂; z/±z₂} edi. Bunga asosan,

a + b = c{4+5; -2+9; l+0}=c{9;7; 1};

a-b =c{4-5; -2-9; 1-0}=c{-1 ;-!!;!}.

6. 
   a{3;-4;l} va 2=4 bo’lsa, la ni koordinatalari topilsin.
   

Yechish: a{x;y;z} vektorni 1 soniga ko’paytmasi la={hc; Ay; Az} bo’lganligi uchun la =4a={4■ 3; 4-(-4); 4-1} = {12; -16; 4}.

7. 
   a{3;4;12} vektorning moduli topilsin.
   

Yechish: a{x; y; z} vektorning moduli \a\=^x² + у² + z² formuladan topilar edi. Bizda x=3, y=4, z=12. Demak,

|a|=V3² + 4² + 12²=Vl69 =13.

8 ~а{1; 0; 1} va b{0; 1; 1} vektorlar orasidagi

burchak topilsin. Yechish: Bizdax₁=1, x₂=0, yi=0, y₂=1, z₁=1, z₂=1. Bularni ikki vektor orasidagi burchakni topish formulasiga qo’yamiz:

_ x₁-x₂+y₁-y₂+z₁-z₂ _ 1-0+0-1+1-1 _ 1 _ 1

^C0S(P ^Jx^+y^+z^ ■^x₂²+y_z²+z₂^J V1+0+W1+0+1 V2-V2 2 ^

=> p = 60^:.

9. 
   a{3;-2;l} va b{5;7;-l} vektorlar o’zaro perpendikulyar ekanligi isbotlansin.
   

Isbo:: Bizda x₁=3, x₂=5, y₁=-2, y₂=7, z₁=1, z₂=-1. Bularni ikki vektorning perpendikulyarlik shartiga qo’yamiz:

*i '*2 + У1 ' У2 + z₁ -z₂=3- 5 + (-2) ■ 7 + 1 ■ (-1) = IS - 14- 1 = 0. Demak, al b ekan.

9. 
   Uchburchakning uchlari A(l\ Z),B{3\ 4),va C(6; 2) nuqtalarda. Uning A uchidagi ichki burchagi hisoblansin. Ш
   

Yechish: Uchburchakning A uchidagi ichki burchagi
va AC

vektorlar orasidagi burchakdan iborat. AB va AC vektorlarning koordinatalarini topamiz.

— 1; 2 —

10


J^ar+^ay-J


-S У2'


ikki vektor orasidagi burchakni topish formulasiga qo’yamiz:

cos (p-


_b2+_b2 V4+4-V2S+0


Demak, cos (p=-= bo’lib, undan qj = 45° kelib chiqadi.