Referat mavzu: Ikkita vektorning skalyar va vektor ko'paytmalari va ularning xossalari

Ikki vektorning vektor ko’paytmasi

Fazodagi a va b vektorlarning vektorial ko’paytmasi deb, quyidagi uchta shart bilan aniqlanuvchi yangi с vektorga aytiladi (1-chizma).


1-clnznia

1. 
   с vektorning mo’duli a va b vektorlarga qurilgan parallelogramm yuziga teng bo’lib, |c| = |a| ■ \b\ ■ simp formula bilan aniqlanadi. Bunda
   berilgan a va b vektorlar orasidagi burchakni ifodalaydi.
   
2. 
   с vektor a va b vektorlar yotgan tekkislikka perpendikulyar, ya’ni clflvac lb bo’ladi.
   
3. 
   с vektor shunday yo’nalganki, uning uchidan qaraganda a vektordan
   

—э

Ъ vektorga eng qisqa burilish soat mili harakatiga teskari bo’ladi.

a va b vektorlarning vektor ko’paytmasi aXb yoki [a,b] kabi belgilanadi.

Vektor ko’patma quyidagi xossalarga ega:

1. 
   а X b = b X a
   
2. 
   А а X b = а X Ab = А (а X b)
   
3. 
   CL X (b+c) = CL X b+a X с
   
4. 
   Agar a va b kollinear vektorlar bo’lsa, ulaming vektor ko’paytmasi а X b = 0 bo’ladi. Aksincha, noldan farqli dvab vektorlar uchun
   

6. x Ь = 0 bo’lsa, bu vektorlar kollinear bo’ladi.

5. 
   Ixtiyoriy a vektor uchun a X а = 0
   
6. 
   Birlik ortlar uchun f X l = 0, Г^х/=0, A- X ^ = 0, iXj = k,
   

j X к =i_f к Xi = j, j X i = -к, к xj = —Tj i X к =

7. 
   d{x₁;y₁;z₁} va b{x_2ly2;z₂} vektorlarning vektorial ko’paytmasini determinant orqali
   

J к

У1

*2 У2 *21

a{x_lfy_lfz₁} va b{x₂.y₂.z₂} vektorlardan hosil qilingan parallelogrammning yuzi

a X b

formula yordamida topiladi.
L

7i % s У2 ^2


*1 Zl ²

x₂ z₂


7i

*2 У2


+

formuladan, uchburchakning yuzi esa s = - \ a + b \ dan topiladi.

d{x₁;y₁;z₁} va b {x_2fy_2fz₂} vektorlar kolinear bo’lishi uchun ^ ^ ^ shart bajarilishi kerak.

X? У? z?

Mavzuga doir yechimlari bilan berilgan topshiriqlardan namunalar

1. 
   (a — 2b) X (2a + b) ko’paytmani soddalashtiring.
   

(a
x(2a + b) = 2aXa + aXb - 4bXa —2b X b= =2-0+a xb — 4? ■ b X a — 0=a X b + 4a X b = 5 axb

2. 
   a{2; 3;-1} va К {3; —1; —4} vektorlarning vektor ko’paytmasini toping.
   

Yechish: a va b vektorlarning vektor ko’paytmasini determinant orqali topish formulasidan foydalanib topamiz. Bizda

^xi ⁼ Yi = 3, % = —1, x₂ = 3, y₂ = — l_f z₂ = 4, z₂ =-4 bo’lgani uchun

axb 12i-2k-3p T T к		- - 7* i j к
Yi zL		2 3-1
У 2 22		3 -1 -4

-9k-i + 8j = -13i + Bj-llk.

Demak, а x b = с (—13; 5; -11)

3. 
   a{2; 3; —l) va b{3; —1; -4} vektorlargayasalgan parallelogramning yuzini toping.
   

Yechish:

Yechish: Yuqoridagi misoldan a x b = -13t+5/ -Ilk. ekanligi

malum, avab vekorlarga yasalgan parallelogrammning yuzi

4. 
   a{m; 3;2} va b{4;6;?i} vektorlar m va n parametrlarning qanday qiymatlarda kollinear bo’lishini aniqlang.
   

Yechish: Koordinatalari bilan berilgan a va b vektorlarning kollinearlik sharti — = — = — dan foydalanamiz.

X? У? Z₇

Bizda x₁ = m, x₂ =4, y₁ =3, y₂ = 6, % = 2_J z₂ = /г bo’lganligi uchun — = - = - =} m = 2_у п = 4.

Д A 71

5. 
   Uchlari A(l; 1; 0), i uchburchakning yuzi topilsin.
   




va


^|:l:li nuqtalarda bo’lgan

Yechish: ABC uchburchakning S yuzi AB va AC vektorlarda yasalgan parallelogramm yuzining yarmiga teng. AB va AC vektorlarning koordinatalarini aniqlaymiz.

AB X AC =
i j к

-10 1 Shunday qilib S = -


0-11

6. 
   Agar |a| = l_r|b| = 2 va a L b bo’lsa, (2a - b) x (a + Й) vektorning uzunligi topilsin.
   

Yechish: Vektor ko’paytmaning xossasidan foydalanamiz. Unga asosan,

(2a — b) x(a + b)=2ct X a + 2а X b — b X a - b X b =

2axd-\-2axb — bxa-bxb = 0-i-2dxb-\-dxb-0 = 3dxb. Shunday qilib

b| ■ sin90° = 3 ■ 1 ■ 2 ■ 1 = 6