Регрессионный анализ

Пример12.1. Необходимо определить зависимость растворимости тиосульфата натрия (y) от температуры (x). Объем выборки N = 9. Экспериментальные данные приведены в табл.1.

х(0С)	0	10	20	30	40	50	60	70	80
у(%)	33,5	37,0	41,2	46,1	50,0	52,0	56,3	64,3	69,9

Решение. Уравнение регрессии запишем в виде
Коэффициентb1определим по формуле (11)
b0—по формуле
Для этого экспериментальные данные и результаты расчета представим в виде табл.2.

						ТАБЛИЦА2 1П-1Т
N	x	y	x2	xy	y2	x + y	(x + y)2
1	0	33,5	0	0	1122,22	33,5	1122,25
2	10	37,0	100	370	1369,00	47,0	2209,00
3	20	41,2	400	824	1697,44	61,2	3745,44
4	30	46,1	900	1383	2125,21	76,1	5791,24
5	40	50,0	1000	2 000	2500,00	90,0	8100,00
6	50	52,8	2 500	2 645	2798,10	102,9	10588,41
7	60	50,8	3 600	3 408	2226,24	116,8	13642,24
8	70	64,3	4 900	4 501	4134,49	134,3	18036,49
9	80	69,9	6 400	5 592	4886,01	149,9	22470,01
	360	451.7	20400	20723	23859,05		85705,05

Последние два столбца табл.2 используются лишь для проверки вычислений по формуле
В нашем случае имеем: 87705,05 = 20400 + 2*20723 + 23859,05, т. е, вычисления проведены правильно.
Используем полученные в табл.2 суммы для определения коэффициентов b0 и b1
определим выборочный коэффициент корреляции:
Величина коэффициента корреляции очень близка к единице; следовательно, зависимость между х и у является практически линейной и имеет вид:
В корреляционном анализе X и Y – это две равноправные измеряемые случайные величины появляющиеся в виде пар значений при многократном повторе опытов эксперимента. Рассмотрим две случайные величины, являющиеся измеримыми.
Задача корреляционного анализа состоит в обработке результатов наблюдений, в каждом из которых контролируются одновременно значения величин X и Y. Полученные результаты измерений объемом n состоят из n пар значений (x1;y1), (x2;y2), (x3;y3), … (xn;yn), которые можно использовать как реализации двумерного вектора (X;Y).
Этапы регрессионного анализа

• Определение оценок коэффициентов регрессии МНК
• Определение значимости коэффициентов регрессии, т.е. существенного отличия их от нуля с помощью t – критерия Стьюдента.
• Определение адекватности уравнения регрессии с помощью F – критерия Фишера.

.

Определение числовых характеристик случайных величин измерений выходной переменной

- вектор математических ожиданий
Для дисперсий yi и yj справедливо:
Ковариация двух случайных величин равна математическому ожиданию
произведения
На первом этапе вычисляют среднеарифметические
и
а также выборочные среднеквадратичные отклонения
Для независимых нормально-распределённых случайных величин Yi и Yj
Для нормально-распределённых случайных величин вместо размерной величины
целесообразно пользоваться коэффициентом корреляции:
В этом случае для линейно-зависимых случайных величин yi и yj
Определение оценок дисперсий в экспериментах с изменением независимых переменных с различным числом параллельных опытов в каждой точке
а) Определение остаточной дисперсии
определяется из экспериментов с изменяющимися значениями (пассивный эксперимент):
р - число значимых выборочных коэффициентов регрессии, в частном случае – когда коэффициенты значимы – р = m+1,
остаточная дисперсия - характеризует погрешности уравнений (или моделей) и погрешности экспериментов;
определяются с помощью коэффициентов (37) по уравнению регрессии;
SSR - сумма квадратов остаточной дисперсии;
fR - число степеней свободы остаточной дисперсии;
n - число опытных измерений;
p - число значимых коэффициентов регрессии.
Остаточная сумма квадратов SSR равна сумме квадратов дисперсии адекватности SSad , характеризующей погрешность уравнения регрессии и сумме квадратов дисперсии воспроизводимости SSe , характеризующей погрешность экспериментов.
Соответственно для числа степеней свободы остаточной дисперсии
будет справедливо:
б) Определение дисперсии воспроизводимости
Дисперсия воспроизводимости определяется из параллельных опытов, когда их число различно в каждой экспериментальной точке и равно
в) Определение дисперсии адекватности
В соответствии с приведёнными ранее равенствами
где, как следует из равенств (53) и (54):

Определение оценок дисперсий с одинаковым числом параллельных опытов в каждой точке k с изменением независимых переменных.

Возьмём i –ую строку из предыдущей таблицы пассивного эксперимента и повторим в ней опыты k раз:
при этом среднее значение
- дисперсия воспроизводимости – характеризует погрешность эксперимента в i-ой опытной точке;
- экспериментальные значения, полученные в параллельных опытах в i-ой точке;
- экспериментальные значения, полученные в параллельных опытах в i-ой точке;
сумма квадратов дисперсии воспроизводимости в i-ом эксперименте;
число степеней свободы дисперсии воспроизводимости в i-ой точке
k - число параллельных опытов в i-ой экспериментальной точке.