Reja: Ehtimollar nazariyasi predmeti qisqacha tarixiy malumot

Katta sonlar qonuni

Ma’lum shartlar bajarilganda katta sondagi tasodifiy miqdorlar yig’indisi o’zining tasodifiylik xaraktyerini yo’qotadi. Shu shartlarni ifodalovchi teoremalar katta sonlar qonuni haqidagi teoremalar deyiladi.

Bu haqdagi 1-teorema Bernulli tomonidan isbotlangan. Katta sonlar qonuni haqida teoremani isbotlashda qo’llaniladigan Chebishev tengsizligini keltirib chiqaramiz. Dastlab, uning umumlashgani bo’lgan Markov tengsizligini isbotlaymiz .
Markov tengsizligi . Agar tasodifiy miqdorining matematik kutilmasi mavjud bo’lsa, ixtiyoriy va uchun
(1)
o’rinli bo’ladi.
Isbot: 1) Faraz qilaylik diskret tasodifiy miqdor bo’lsin. Ya’ni tasodifiy miqdor qiymatlarni ehtimolliklar bilan qabul qilsin ( ).
U holda
.
2) Endi faraz qilaylik uzluksiz tasodif miqdor zichlik funksiyasiga ega bo’lgan uzluksiz tasodifiy miqdor bo’lsin.
U holda

.

1. 
   tengsizlik isbotlandi.
   

va hodisalar teng kuchli bo’lganligi uchun ularning ehtimolliklari teng bo’ladi, va
.
ni bilan almashtiramiz, u holda

Demak,
(2)
Bu tengsizlikka Chebeshev tengsizligi deyiladi.
Agar (2) ga deb olsak, u holda

bo’ladi.
Agar normal taqsimotga ega bo’lsa, u holda

bajarilishiga ishonch hosil qilish mumkin.
Bunga -qoidasi deb ham ataladi.
Natija: Agar tasodif miqdorining dispyerstiyasi mavjud bo’lsa, ixtiyoriy uchun
. (3)
(3) ga ham Chebishev tengsizligi deyiladi.
Isboti:
va
o’zaro qarama-qarshi hodisalar bo’lganliklari uchun

va (2) ga asosan

Bizga tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi berilgan bo’lsin, ketma-ketlikni tuzib olamiz.