Reja: Hosila tushunchasiga olib keladigan masalalar Funksiya hosilasining ta’rifi. Hosilaning geometrik va fizik ma’nolari. Urinma va normal tenglamalari Hosila hisoblash qoidalari Hosila tushunchasiga olib keladigan masalalar

Hosilaning fizik ma’nosi. Hosila tushunchasiga olib keladigan ikkinchi masalada harakat qonuni s=s(t) funksiya bilan tavsiflanadigan to‘g‘ri chiziq bo‘ylab harakatlanayotgan moddiy nuqtaning t vaqt momentidagi oniy tezligi v_oniy = ekanligini ko‘rgan edik. Bundan hosilaning fizik (mexanik) ma’nosi kelib chiqadi.
s=s(t) funksiya bilan tavsiflanadigan to‘g‘ri chiziqli harakatda t vaqt momentidagi harakat tezligining son qiymati hosilaga teng: v_oniy =s’(t).
Hosilaning mexanik ma’nosini qisqacha quyidagicha ham aytish mumkin: yo‘ldan vaqt bo‘yicha olingan hosila tezlikka teng.
Hosila tushunchasi nafaqat to‘g‘ri chiziqli harakatning oniy tezligini, balki boshqa jarayonlarning ham oniy tezligini aniqlashga imkon beradi. Masalan, faraz qilaylik y=Q(T) jismni T tempyeraturaga qadar qizdirish uchun uzatilayotgan issiqlik miqdorining o‘zgarishini tavsiflovchi funksiya bo‘lsin. U holda jismning issiqlik sig‘imi issiqlik miqdoridan tempyeratura bo‘yicha olingan hosilaga teng bo‘ladi:
C= .
Umuman olganda, hosilani f(x) funksiya bilan tavsiflanadigan jarayon oniy tezligining matematik modeli deb aytish mumkin.
Urinma va normal tenglamalari. Faraz qilaylik y=f(x) funksiya x₀ nuqtada hosilaga ega, M(x₀;f(x₀)) funksiya grafigiga tegishli nuqta bo‘lsin. Funksiya grafigiga berilgan nuqtada o‘tkazilgan urinma tenglamasini tuzaylik.
Bu tenglamani y=kx+b ko‘rinishda izlaymiz. Izlanayotgan to‘g‘ri chiziq M(x₀;f(x₀)) nuqtadan o‘tishi ma’lum, shu sababli f(x₀)= kx₀+b tenglik o‘rinli. Bundan b=f(x₀)-kx₀ ekanligini topamiz. Demak, urinma tenglamasini y=kx+ f(x₀)- kx₀ yoki y= f(x₀)+k(x- x₀) ko‘rinishga ega bo‘ladi. Agar urinmaning k burchak koeffitsienti hosilaning x₀ nuqtadagi qiymatiga tengligini e’tiborga olsak, y=f(x) funksiya grafigiga M(x₀;f(x₀)) nuqtasida o‘tkazilgan urinma tenglamasi quyidagicha bo‘ladi:
y= f(x₀)+f’(x₀)(x-x₀) (3.1)
Ma’lumki, agar k_urinma¹0 bo‘lsa, urinma va normalning burchak koeffitsientlari pyerpendikulyarlik sharti k_normal×k_urinma=-1 bilan bog‘langan bo‘ladi. Bundan y=f(x) funksiya grafigiga M(x₀;f(x₀)) nuqtasida o‘tkazilgan normal tenglamasini
y= f(x₀)- (x-x₀) (3.2)
keltirib chiqarish mumkin.
Misol. Abstsissasi x=1 bo‘lgan nuqtada y=1/x gipyerbolaga o‘tkazilgan urinma va normal tenglamalarini tuzing.
Yechish. Bu misolda x₀=1, f(x₀)=1, f’(x)=- , f’(1)=-1. Bu qiymatlarni (3.1) formulaga qo‘yib urinma tenglamasini hosil qilamiz:
y=1-(x-1), ya’ni y=2-x;
(3.2) formuladan foydalanib, normal tenglamasini yozamiz: y=1+(x-1), ya’ni y=x.
Misol. y=x² parabolaning A(0;-4) nuqtadan o‘tuvchi urinma tenglamasini yozing.
Yechish. Berilgan nuqta y=x² parabolaga tegishli emasligi ko‘rinib turibdi. Faraz qilaylik x=x₀ nuqta urinish nuqtasining abssissasi bo‘lsin. U holda f(x₀)=x₀², f’(x)=2x, f’(x₀)=2x₀. (3.1) formuladan foydalansak
y= x₀²+2x₀(x-x₀)
ya’ni
y= 2x₀x- x₀² (3.3)
tenglamaga ega bo‘lamiz.
Shartga ko‘ra urinma (0;-4) nuqtadan o‘tishi kerak. (3.3) tenglamada x va y o‘rniga 0 va -4 qiymatlarini qo‘yib x₀ ga nisbatan -4=- x₀² tenglamaga ega bo‘lamiz. Bundan x₀=2, x₀=-2 bo‘lishini topamiz.
Agar x₀=2 bo‘lsa, u holda urinma tenglamasi y=4x-4; agar x₀=-2 bo‘lsa, y=-4x-4 bo‘ladi.
Shunday qilib, ko‘rsatilgan shartni qanoatlantiruvchi ikkita y=4x-4, y=-4x-4 urinma tenglamasini hosil qildik.
Ikki chiziq orasidagi burchak. Urinmalar yordamida ikki egri chiziq orasidagi burchak tushunchasi ta’riflanadi.
Ikki egri chiziq orasidagi burchak deb ularning kesishish nuqtasida shu chiziqlarga o‘tkazilgan urinmalari orasidagi burchakka aytiladi.
Bu ta’rifdan foydalanib ikki chiziq orasidagi burchak tangensini topish mumkin. Faraz qilaylik y=f₁(x) va y=f₂(x) chiziqlar M₀(x₀;y₀) nuqtada kesishsin, hamda y=f₁(x) chiziqqa M₀ nuqtada o‘tkazilgan urinma abssissa o‘qi bilan a burchak, y=f₂(x) chiziqqa M₀ nuqtada o‘tkazilgan urinma esa b burchak tashkil qilsin. (3-rasm)
Agar g urinmalar orasidagi burchak bo‘lsa, u holda g=b-a bo‘ladi. Bundan esa
tgg=tg(b-a)=
tenglikka ega bo‘lamiz.

9-rasm
Ammo hosilaning geometrik ma’nosiga ko‘ra tga=f₁’(x₀) va tgb=f₂’(x₀), demak ikki chiziq orasidagi burchak uchun

tgg= (3.4)
formula o‘rinli bo‘ladi.
Misol. y=x² parabola va gipyerbolalar orasidagi burchakni toping.
Yechish. Avvalo parabola va gipyerbolaning kesishish nuqtasini topamiz. Buning uchun ushbu sistemani yechamiz. Bundan , x³=1, x=1 bo‘lishi kelib chiqadi. Demak, sistemaning yolg‘iz (1,1) yechimi mavjud. (x²)’=2x bo‘lgani uchun f₁’(1)=2, shuningdek, bo‘lgani uchun f₂’(1)=-1 bo‘ladi. Demak, (3.4) formulaga ko‘ra bo‘lib, bundan burchak kattaligi uchun g=arstg3 tenglikning o‘rinli ekani kelib chiqadi. (9 -rasm).

Biz oldingi paragraflarda hosila tushunchasini turli fizik masalalarni yechishda, urinma tenglamasini yozishda foydalandik. Hosilaning boshqa tatbiqlarini kelgusida o‘rganamiz. Bu degani har xil masalalarda uchrashishi mumkin bo‘lgan turli xil funksiyalarning hosilalarini hisoblashni bilish zarurligini anglatadi. Ushbu paragrafda u(x) va v(x) funksiyalarning hosilalarini bilgan holda ularning yig‘indisi, ko‘paytmasi va bo‘linmasining hosilalarini topishni o‘rganamiz.

6.