Reja: Iqtisodiy jarayonlarning modellashtirish jarayoni. Bazi bir iqtisodiy jarayonlarining matematik modeli. Matematik programmash masalalari. Tayanch iboralar

Iqtisodiy masalarning matematik modelini tuzish
Biz yuqorida chiziqli programmalash ko‘p variantli yechimga ega bo‘lgan masalalarning optimal yechimini aniqlash uchun qo‘llanilishini aytgan edik. Bunday masalalarga chiziqli programmalash usullarini qo‘llashdan avval, ularning matematik modelini tuzish kerak, boshqacha aytganda berilgan iqtisodiy masalaning chegaralanuvchi shartlarini, maqsadini matematik formulalar orqali ifodalab olish kerak. Har qanday iqtisodiy masalanining matematik modelini tuzish uchun:

1. masalaning iqtisodiy ma’nosini o‘rganib, undagi asosiy shartlar va maqsadni aniqlash;

   
   

2. masaladagi noma’lumlarni (topilishi kerak bo‘lgan o‘zgaruvchilarni) belgilash;

   
   

3. masalaning shartlarini algebrik tenglamalar yoki tengsizliklar orqali ifodalash;

   
   

4. masalaning maqsadini chiziqli funksiya orqali ifodalash kerak.

   
   

Misol uchun bir nechta eng sodda iqtisodiy masalalarning matematik modelini tuzish jarayoni bilan tanishamiz.

1. I sh l a b ch i q a r i sh n n p l a n l a sh t i r i sh m a s a l a s i.

Faraz qilaylik, korxonada xil mahsulot ishlab chiqarilsin, ulardan ixtiyoriy birini bilan belgilaymiz. Bu mahsulotlarni ishlab chiqirish uchun xil ishlab chiqarish faktorlari zarur bo‘lsin (ulardan ixtiyoriy birini bilan belgilaymiz).
Har bir ishlab chiqarish faktorining umumiy miqdori va bir birlik mahsulotni ishlab chiqarish uchun sarf qilinadigan normasi quyidagi jadvalda berilgan.

i/ch faktorlari va umumiy miqdori i/ch mah- sulot xillari	1	2	3	…		Korxonaning bir-birlik mahsulotining realizatsiyasidan olingan daromadi
				…..
1
2
….	…..	…..	…..	….	…..	….
				…..

Bu yerda har bir ishlab chiqarish faktorlarining umumiy miqdori; mahsulotning bir birligi ishlab chiqirsh uchun sarf qilinadigan faktorning miqdori; - korxonaning mahsulotning bir birligini realizatsiya qilishdan olingan daromadi.

M a s a l a n i n g i q t i s o d i y m a ‘ n o s i: korxonaning ishini shunday planlashtirish kerakki; a) hamma mahsulotni ishlab chiqarish uchun sarf qilinadigan har bir ishlab chiqarish faktorining miqdori ularning umumiy miqdoridan oshmasin; b) mahsulotlarni realizatsiya qilishdan korxona oladigan daromad maksimal bo‘lsin.
Planlashtirilayotgan davr ichida ishlab chiqariladigan mahsulotning miqdorini bilan belgilaymiz. U holda masaladagi a) shart quyidagi tengsizliklar sistemasi orqali ifodalanadi:
(3)
Masalaning iqtisodiy ma’nosiga ko‘ra hamma noma’lumlar manfiy bo‘lmasligi kerak, ya’ni
(4)
Masaladagi b) shart uning maqsadini aniqlaydi. Shunday qilib, masalaning maqsadi korxonaning daromadini maksimallashtirishdan iborat. Barcha ishlab chiqariladigan mahsulotni realizatsiya qilishidan korxonaning oladigan daromadini
(5)
chiziqli funksiya orqali ifodalash mumkin; shartga ko‘ra Chiziqli funksiya maksimumga erishsin degan shartni deb belgilaymiz. Shunday qilib, korxonaning ishini planlashtirish masalasining matematik modeli bunday ko‘rishda bo‘ladi:
2. T r a n s p o r t m a s a l a s i. Faraz qilaylik, ta punktlarda bir xil mahsulot ishlab chiqarilsin. Ma’lum bir davr ichida har bir punktda ishlab chiqarilgan mahsulotning miqdori ga teng bo‘lsin. Ishlab chiqarilgan mahsulotlar punktlarda iste’mol qilinsin hamda har bir punktning shu davr ichida mahsulotga bo‘lgan talabi ga teng bo‘lsin, punktlarda ishlab chiqarilgan mahsulotlarning umumiy miqdori punktlarning mahsulotga bo‘lgan talablarining umumiy miqdoriga teng, ya’ni

deb faraz qilamiz. Har bir ishlab chiqish punkti dan hamma iste’mol qiluvchi punktga mahsulot tashish imkoniyati bo‘lsin va gacha birlik mahsulotni olib borish uchun sarf qilinadigan xarajat pul birligiga teng bo‘lsin. bilan planlashtirilgan davr ichida punktdan punktga olib boriladigan mahsulotning umumiy miqdorini belgilaymiz.

Transport masalasining berilgan parametrlarini jadvalga joylashtiramiz.

			….
			…
			…
			…
			…

M a s a l a n i n g i q t i s o d i y m a ‘ n o s i. Har bir iste’mol qiluvchi punktni har bir ishlab chiqirish punktiga shunday biriktirish kerakki:

1) har bir ishlab chiqarish punktidagi mahsulotlar to‘la taqsimlansin;
2) har bir iste’mol qiluvchi punktning talabi to‘la qanoatlantirilsin;
3) sarf qilingan transport xarajatlarining jami minimal bo‘lsin.
Masalaning 1) shartini quyidagi tenglamalar sistemasi orqali ifoda qilish mumkin:
(6)
Masalaning 2) sharti esa quyidagi tenglamalar sistemasi ko‘rinishida ifodalanadi:
(7)
Masalaning iqtisodiy ma’nosiga ko‘ra, noma’lumlar manfiy bo‘lmasligi kerak, ya’ni:
(8)
Masalaning 3) sharti quyidagi chiziqli funksiya orqali ifodalanadi:
(9)
(6), (7), (8), (9) shartlar birgalikda transport masalasining matematik modeli deb ataladi. Bunda masalaning (6)-(8) shartlarini qanoatlantiruvchi shunday yechimini topish kerakki, chiziqli funksiya (9) ga minimal qiymat bersin.
Transport masalasining matematik modelini yig‘indilar ko‘rinishida ham ifodalash mumkin:
(10)

(11)

(12)
(13)
3. P a r h ye z m a s a l a s i. Sanoatda optimal aralashmalar tayyorlash, qishloq xo‘jalik mollari uchun optimal ratsion tayyorlash va ma’lum bir fiziologik xususiyatli kishilar uchun optimal parhez taomlar tayyorlash masalalari umumiy nom bilan «parhez masalasi» deb ataladi.

Faraz qilaylik, kishi organizmi uchun bir sutkada xil ozuqa moddalari kerak bo‘lsin, jumladan ozuqa moddasidan bir sutkada miqdorda, ozuqa moddasidan miqdorda, ozuqa moddasidan miqdorda va hokazo dan miqdorda zarur bo‘lib, ularni ta mahsulotlarning tarkibidan olish mumkin bo‘lsin. Har bir birlik mahsulotning narxi pul birligiga teng bo‘lsin. Shu bilan birga har birlik mahsulotning tarkibidagi ozuqa moddasining miqdori birlikni tashkil qilsin. Masalaning berilgan parametrlarini quyidagidek jadvalga joylashtirish mumkin.

Ozuqa modda Mahsulot					Mahsulot bahosi
Ozuqa moda normasi

M a s a l a n i n g i q t i s o d i y m a ‘ n o s i : bir kunlik ovqatlanish planini shunday tuzish kerakki, natijada kishi organizmi kerakli ozuqa moddalarini to‘la qabul qilsin va sarf qilingan xarajatlar minimal bo‘lsin.

Bir sutkada ishlatiladigan mahsulotning miqdorini bilan belgilaymiz. Bu holda organizmning ozuqa moddasiga bo‘lgan talabi to‘la qondirilsin degan shart quyidagi tenglama orqali ifodalanadi:

Xuddi shuningdek, organizmning boshqa ozuqa moddalariga bo‘lgan talabi to‘la qondiriladigan shart quyidagi tenglamalar sistemasi orqali ifodalanadi.

Masalaning iqtisodiy ma’nosiga ko‘ra noma’lumlar manfiy bo‘lmasligi, ya’ni

bo‘lishi kerak. Masalaning maqsadi bir sutkalik ovqatlanish uchun sarf qilinadigan xarajatlarni minimallashtirishdan iborat. Bu shart quyidagi chiziqli funksiya orqali ifolananadi:

Shunday qilib, parhez masalasining matematik modelini bunday ifodalash mumkin ekan:
(14)

(15)
(16)

4. K o r x o n a l a r n i o p t i m a l j o y l a sh t i r i sh m a s a l a s i. Faraz qilaylik, ta punktga bir xil mahsulot ishlab chiqaruvchi korxonalar joylashgan yoki ularni joylashtirish kerak bo‘lsin. Iste’molchilar ta punktga joylashgan bo‘lib, ularning mahsulotga bo‘lgan talablari birliklardan iborat bo‘lsin. Har bir punktda eng ko‘pi bilan birlik mahsulot ishlab chiqarilsin va har bir birlik mahsulotni ishlab chiqirishga pul birlik xarajat qilsin.

Bundan tashqari har bir ishlab chiqaruvchi punktdan har bir iste’mol qiluvchi punktga mahsulot tashish mumkin deb, hamda bir mahsulotni ishlab chiqaruvchi punktdan iste’mol qiluvchi punktga tashish uchun pul birlik xarajat qilinsin deb faraz qilamiz.

M a s a l a n i n g i q t i s o d i y m a ‘ n o s i: yangi quriladigan korxonalarni shunday joylashtirish, shu bilan birga ishlab chiqarish va mahsulotni tashishni quyidagi talablarga javob beradigan qilib planlashtirish kerak:
1) iste’mol qiluvchi punktlarning talabi to‘la qanoatlantirilsin; 2) har bir korxonada ishlab chiqarilgan mahsulot to‘la taqsimlansin va 3) hamma mahsulotni ishlab chiqarish va taqsimlash uchun sarf qilingan xarajatlar minimal (eng kam) bo‘lsin.
Masaladagi noma’lumlar:
punktda ishlab chiqariladigan mahsulotning miqdori,
ishlab chiqaruvchi punktdan iste’mol qiluvchi punktga tashiladigan mahsulotning miqdori.
Masalaning 1) va 2) shartli quyidagi tenglamalar sistemasi orqali ifodalanadi:
(17)
(18)
Masalaning iqtisodiy ma’nosiga ko‘ra hamma noma’lumlar musbat va ishlab chiqarilgan mahsulotning miqdori quyi va yuqoridan chegaralangan bo‘lishi, ya’ni ushbu shartlar o‘rinli bo‘lishi kerak:
(19)
bu yerda, - ishlab chiqarish planining quyi va yuqori chegarasi.
Masalaning maqsadi quyidagi chiziqli funksiya orqali ifodalanadi:
(20)
bu yerda mahsulotni ishlab chiqarish uchun sarf qilingan xarajat mahsulotning miqdoriga bog‘liq emas, deb faraz qilingan.
Shunday qilib, ishlab chiqarishni joylashtirish masalasining matematik modelini yig‘indi ko‘rinishida bunday yozish mumkin:

5. X o m a sh yo l a r d a n o q i l o n a f o y d a l a n i sh h a q i d a g i m a s a l a. Masalan, to‘rt xil , , , xom ashyodan foydalanib, ikki xil va mahsulot tayyorlash talab qilinsin. Bunda har qaysi xom ashyo miqdori cheklangan bo‘lib, mos ravishda , , , shartli birlikdagi kattaliklarni tashkil etadi. Tayyorlanadigan har qaysi mahsulotning bir birligini tayyorlash uchun zarur bo‘lgan har qaysi turdagi xom ashyo miqdori ma’lum va u 1-jadvalda berilgan. Bu yerda (i=1;2;3;4; j=1,2) turdagi mahsulotni tayyorlash uchun zarur bo‘lgan turdagi xom ashyo miqdoridir.

1 –jadval

Xomashyo turi	Xomashyo zapasi	Mahsulot turlari
Daromad		7	5

Xomashyo turi	Xomashyo zapasi	Mahsulot turlari
Daromad

2-jadval

va turdagi mahsulotlarni ishlab chiqarish plani shunday tuzilsinki, bunda korxona ishlab chiqargan barcha maxsulotni realizatsiya qilishdan eng ko‘p daromad olsin .
Quyida masalaning matematik ifodalanishini aniq sonli misolda qaraymiz (2-jadvalga qarang).
Korxona turdagi mahsulotdan birlik, turdagi mahsulotdan esa birlik miqdorda ishlab chiqarsin deb faraz qilaylik. Buning uchun birlik miqdorida xomashyodan kerak bo‘ladi (2-jadvalga asosan). Ammo, xomashyo miqdori hammasi bo‘lib 19 birlikni tashkil etgani uchun ushbu

tengsizlik bajarilishi zarur. Bu yerda tengsizlik (tenglik emas) ishorasi qo‘yilishiga sabab shuki, korxona xomashyo zapasining hammasini to‘la sarflamasdanoq eng ko‘p (maksimal) daromadga erishish mumkin.

Shunga o‘xshash mulohazalarni mos ravishda turdagi xomashyolarga nisbatan yuritib, quyidagi

tengsizliklarni hosil qilamiz. Bu shartlarning barchasi bajarilganda korxona oladigan daromad

ko‘rinishda ifodalanadi.
Shunday qilib, qo‘yilgan masalani matematik nuqtai nazaridan quyidagicha ifodalash mumkin. Ushbu
(21)
to‘rtta chiziqli berilgan, (21) sistemaning barcha manfiy bo‘lmagan yechimlari orasidan shundaylari tanlab olinsinki, bunda chiziqli ifoda o‘zining eng katta qiymatiga erishsin (maksimallashsin).
6. A s b o b – u s k u n a l a r q u v v a t l a r i d a n f o y d a l a n i sh h a q i d a g i m a s a l a .
Aytaylik, T vaqtda korxona turdagi mahsulotdan birlik miqdorda va turdagi mahsulotdan miqdorda ishlab chiqarishni rejalashtirgan bo‘lsin. Har qaysi turdagi mahsulot har xil quvvatli ikkita A va V mashinalarda ishlab chiqarilishi mumkin. Bu quvvatlar 3-jadvalda berilgan. Bu yerda vaqt birligida A mashina ishlab chiqaradigan turdagi mahsulot miqdoridir. 3-jadvalda berilgan miqdorlar ham shunga o‘xshash ma’noga ega.
Har qaysi mahsulotni u yoki bu mashinada ishlab chiqish xarajati har xil bo‘lib, u 4-jadvalda berilgan. Jadvaldagi bu - turdagi mahsulotni tayyorlashdagi A mashinaning bir birlik ish vaqti bahosidir. Jadvaldagi miqdorlar ham shunga o‘xshash ma’noga ega.
3-jadval 4-jadval 5-jadval

A
V

A
V

A
V

mashinalarning shunday optimal ish plani tuzilsinki, ya’ni A va V mashinalarning har qaysidan va turdagi mahsulotlarning har birini tayyorlash uchun qanchadan vaqt sarflanishi kerakki, bunda tayyorlangan barcha mahsulot korxonaga eng arzon (minimal xarajatli) tushsin va topshirilgan plan talab qilingan miqdorda (ko‘rsatilgan miqdorda) bajarilsin.

Qo‘yilgan masalani matematik tilda ifodalaymiz. Buning uchun 5-jadvalni tuzamiz, bunda A mashinaning turdagi mahsulotni tayyorlashga sarflagan vaqti, esa A mashinaning turdagi mahsulotni tayyorlashga sarflagan vaqti va h. k.
A va V mashinalar bir vaqtning o‘zida ishlaganlari sababli talab qilingan planning vaqt bo‘yicha bajarilishi uchun

bu yerda yig‘indi A mashinaning umumiy ish vaqti va yig‘indi esa V mashinaning umumiy ish vaqtidir.

Yuqoridagi shartlarda tengsizlik ishorasi shuning uchun ham kerakki, korxona talab qilingan planni muddatidan ancha ilgari bajarishi ham mumkin.
A mashina turdagi mahsulotni tayyorlashga birlik vaqt sarflagan bo‘lsin. Har bir birlik vaqtda A mashina turdagi mahsulotdan birlik miqdorda mahsulot tayyorlagan. Shunga o‘xshash, V mashina birlik turdagi mahsulot tayyorlagan. Shu sababli plan bajarilishi uchun

tenglik o‘rinli bo‘lishi zarur.

Xudi shu kabi turdagi mahsulotni ishlab chiqarish plani bajarilishi uchun

tenglik o‘rinli bo‘lishi zarur.

Masalaning shartiga ko‘ra (4-jadvalga asosan) barcha mahsulotni tayyorlash uchun sarflangan umumiy xarajat

ko‘rinishda chiziqli ifodalanadi.

Natijada quyidagi matematik masalaga kelamiz:
ushbu
(22)
ikkita chiziqli tengsizlik va ikkita chiziqli tengliklar sistemasi hamda
(23)
chiziqli ifoda berilgan. (22) sistemaning barcha manfiy bo‘lmagan yechimlari orasida shunday yechim topilsinki, bunda chiziqli ifoda o‘zining eng kichik qiymatiga erishsin (minimallashsin).
Qaralayotgan bu masalaning yana bitta muhim variantini eslatib o‘tamiz. A va V mashinalar planda ko‘rsatilgan T vaqtning boshidan oxirigacha ishlasin deb talab qilamiz. U holda yuqoridagi

tengsizliklar

tengliklar bilan almashadi. Ammo bu holda

tengliklar umuman aytganda, ushbu

tengsizliklarga aylanishi mumkin, chunki mashinalar T vaqtning boshidan oxirigacha ishlab, topshirilgan planni bajaribgina qolmasdan, balki uni oshig‘i bilan bajarishi ham mumkin. Bunda xarajatni minimallash talabi ziddiyatga uchramaydi.
7. Havo yo‘llari bo‘yicha samolyotlarni taqsimlash masalasi. Bu masala eng kam xarajat sarflab berilgan havo yo‘llari bo‘yicha zarur bo‘lgan yuk yoki passajirlarni tashishning optimal (eng qulay) yechimini tanlash masalasidir. Bu masalaning qo‘yilishi quyidagicha bo‘ladi:
ta havo yo‘liga taqsimlash uchun xil samolyot berilgan bo‘lsin. Agar - xildagi samolyotlarning soni ga - nomerli havo yo‘li bo‘yicha - xil samolyotning bir oylik yuk, tashish hajmi birlikka va shu bilan bog‘liq bo‘lgan xarajat so‘mga teng bo‘lsa, eng kam xarajat sarflab, - nomerli havo yo‘li bo‘yicha birlikdan kam bo‘lmagan tashish ishini ta’minlash uchun zarur bo‘lgan - xildagi samolyotlar soni ni topish masalasining matematik modelini tuzish talab qilingan bo‘lsin. Quyidagi masalani jadval ko‘rinishida 6-jadvalda ko‘rsatilgandek yozish mumkin.
Birinchidan, - nomerli havo yo‘li bo‘yicha tashish ishini bajarish uchun sarf bo‘lgan xarajat

bo‘lgani uchun, umumiy xarajat quyidagiga teng bo‘ladi:

(24)
Ikkinchidan, masalaning shartiga ko‘ra, - xildagi samolyotlarning soni ga teng bo‘lib, - nomerli havo yo‘li bo‘yicha birlikdan kam bo‘lmagan tashish ishini bajarish kerak bo‘lganligi uchun quyidagilarga ega bo‘lamiz:
(25)
(24) – (25) matematik ifoda qo‘yilgan masalaning matematik modelini tashkil qiladi. Boshqacha qilib aytganda, (25) sistemaning manfiy bo‘lmagan yechimlari ichidan shunday yechimni tanlash kerakki, maqsad funksiya (24) o‘zining eng kichik qiymatiga erishsin, ya’ni eng kam xarajat sarflansin.

6-jadval

Samolyotlar-ning xili

Samolyot-larning soni

Har bir havo yo‘li bo‘yicha bir oylik yuk tashish hajmi

Har bir havo yo‘li bo‘yicha samolyotlarnin ishlatish uchun ketgan xarajat

1

2

…

…

1

2

…

…

- nomerli havo yo‘li bo‘yicha yuk tashish birligining miqdori

…

…

(24) – (25) matematik ifoda qo‘yilgan masalaning matematik modelini tashkil qiladi. Boshqacha qilib aytganda, (25) sistemaning manfiy bo‘lmagan yechimlari ichidan shunday yechimni tanlash kerakki, maqsad funksiya (24) o‘zining eng kichik qiymatiga erishsin, ya’ni eng kam xarajat sarflansin.

Masala. To‘rtta havo yo‘liga taqsimlash uchun 3 xil samolyot berilgan bo‘lsin. Agar har bir xildagi samolyotlarning soni, bir oylik yuk tashish xajmining birligi va samolyotlarni ishlatish uchun ketgan xarajatlarning son qiymati 7-jadvaldagidek berilgan bo‘lsa, samolyotlarni shunday taqsimlash kerakki eng kam xarajat sarflab, har bir havo yo‘li bo‘yicha mos ravishda 300, 200, 1000 va 500 birliklardan kam bo‘lmagan yuk tashilsin. Qo‘yilgan masalaning matematik modeli qurilsin.
7- j a d v a l.

Samolyotlar-ning xili	Samolyotlar-ning soni	Har bir havo yo‘li bo‘yicha oylik yuk tashish xajmi						Har bir havo yo‘li bo‘yicha samolyotlarni ishlatish uchun ketgan xarajat
		1	2	3	4	1	2		3	4
1 2 3	50 20 30	15 30 25	10 25 50	20 10 30	50 17 45	15 70 40	20 28 70		25 15 40	40 45 65
Yuk tashish birligining miqdori		300	200	1000	500