Reja: Kirish. Asosiy qism

MAVZU: Darajali va Teyler qatori.

Reja:

1. 
   Kirish.
   
2. 
   Asosiy qism.
   

Ushbu

1

Qator darajali qator deyiladi. Bunda .... Oʻzgarmas haqiqiy sonlar darajali qatorning koeffitsiyentlari deyiladi, x0 esa ixtiyoriy oʻzgarmas son.

(1)darajali qator ...... Funksional qarorning xususiy holi boʻlib hisoblanadi:

.........

x-x0=t belgilash yordamida (1) darajali qatorni

...........(2)

koʻrinishiga keltirish mumkin. Shuning uchun biz bundan keyin

............

koʻrinishidagi qatorlarni oʻrganish bilan kifoyalanamiz.

1-teorema (Abel teoremasi). Agar (2) darajali qator x ning x=x0 (x=x0) qiymatiga yaqinlashuvchi boʻlsa, u holda x ning |x|<|x0| tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha qiymatlarida (2) darajali qator absolyut yaqinlashuvchi boʻladi.

Natija. Agar (2) qator x ning |x|=|x0| qiymatida uzoqlashuvchi boʻlsa, u x ning |x|>|x0| tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha qiymatlarida uzoqlashuvchi boʻladi.

2-teorema. Har qanday darajali (2) qator uchun.......... son mavjud boʻlib:

a) agar ... va ...., boʻlsa, u holda (2) qator K={x:|x|


b) agar p=0 boʻlsa, (2) darajali qator faqat x=0 nuqtada yaqinlashuvchi boʻladi;

d) agar ... boʻlsa, (2) darajali qator sonlar oʻqining hamma joyida yaqinlashuvchi boʻladi.

1- ta'rif. 2- teoremadagi p son (2) darajali qatorning yaqinlashish radiusi, K={x:|x|


1- eslatma. K intervalning chegarasida, ya'ni x=±p da (2) darajali qator yaqinlashuvchi boʻlishi ham, uzoqlashuvchi boʻlishi ham mumkin. K ga nisbatan kichik istalgan K1={x:|x|≤p1


3- teorema (Koshi—Adamar). Agar: 1) chekli yoki cheksiz ..... mavjud boʻlsa, u holda (2) qatorning yaqinlashish radiusi p uchun

..........(3)

formula oʻrinli;

2)chekli yoki cheksiz ...... mavjud boʻlsa, u holda (2) darajali qatorning yaqinlashish radiusi r uchun

........(4)

formula oʻrinli.

2- eslatma. Darajali qatorlarning har bir hadi (-∞;+∞) da berilgan funksiya boʻlsa ham, tabiiyki, darajali qatorlar ixtiyoriy nuqtasida yaqinlashuvchi boʻladi, deb ayta olmaymiz.

3-eslatma. ....,..,.. darajali qatorning yaqinlashish intervali (x0-p;x0+p) boʻladi, bunda p ushbu..... Qatorning yaqinlashish radiusi.

4- eslatma. (3)-(4) limitlar mavjud boʻlmasligi ham mumkin. Ammo (2) darajali qatorning yaqinlashish radiusini hisoblash uchun umumiy formula

.......(5)

ga egamiz. (5) formula Koshi—Adamar formulasi deyiladi.

.....

2. Darajali qatorlarning xossalari.

1-xossa. Agar (1) qatorning yaqinlashish radiusi p(p>0) boʻlsa, 0

2-xossa. Agar (1) qatorning yaqinlashish radiusi p boʻlsa, bu qatorning S(x)=..... yigʻindisi [-p;p] da uzluksiz funksiya biladi.

3-xossa. Agar (1) qatorning yaqinlashish radiusi p boʻlib bu qator x=p (x=-p) nuqtada yaqinlashuvchi (shartli yaqinlashuvchi) boʻlsa qatorning S(x) yigʻindisi x=p (x=-p) nuqtada chapdan (oʻngdan) uzluksiz boʻladi, ya'ni

Sp-0.......

4-xossa. Agar (1) qatorning yaqinlashish radiusi p bo’lsa, bu qatorni [a,b] ([a,b](-p;p)) segmentda hadma-had integrallash mumkin, ya’ni

…..

5-xossa. Agar (1) qatorning yaqinlashish radiusi p bo’lsa, bu qatorni (-p;p) da hadma-had integrallash mumkin, ya’ni

…..

6-xossa. Ushbu darajali qatorlar bir xil yaqinlashuvchi radiusiga ega:

……

Teylor qatori

1. 
   Funksiyalarni Teylor qatoriga yoyish. f(x) funksiya x_o (x_o) nuqtaning biror
   

…….

atrofida berilgan bo’lib, u shu atrofda istalgan tartibdagi hosilaga ega bo’lsa, ushbu

……., (1)

Darajali qator, u yaqinlashuvchi bo’ladimi yaqinlashuvchi bo’lib, uning yig’indisi f(x) funksiyaga teng bo’ladimi yoki yo’qmi, bundan qatiy nazar, f(x) funksiyaning x=x_o nuqtadagi Teylor qatori deyiladi. Bu qator (1) darajali qatorga o’xshash bo’lib, bunda

……..,

lar Teylor korffitsiyentlari deyiladi.

Xususiy holda, ya’ni x₀=0 bo’lganda (1) Teylor qatori

……..

Ko’rinishiga kiladi. Bu qator ko’p hollarda Makloren qatori deb yuritiladi.