Reja kirish asosiy qism
Download 1.01 Mb. Pdf ko'rish
|
DIRAK SISTEMASI UCHUN LYAPUNOV FUNKSIYASI VA UNING XOSSALARI
- Bu sahifa navigatsiya:
- Turg‘unlikni Lyapunov funksiyasi yordamida tekshirish 3. FOYDALANGAN ADABIYOTLAR 4. XULOSA
|
REJA 1. KIRISH 2. ASOSIY QISM 2.1 Dirak sistemasi uchun Lyapunov funksiyasi va uning xossalaripredikatlar 2.2 Dirak operatori spektral berilganlarining vaqt bo`yicha evolyutsiyasipredikatlar 2.3 Turg‘unlikni Lyapunov funksiyasi yordamida tekshirish 3. FOYDALANGAN ADABIYOTLAR 4. XULOSA 1. KIRISH Differensial tenglamalar fani turli xil fizik jarayonlarni o'rganish bilan chambarchas bog’liqdir. Bunday jarayonlar qatoriga gidrodinamika, elektro dinamika masalalari va boshqa ko’plab masalalarni keltirish mumkin. Turli jarayonlarni ifodalovchi matematik masalalar ko’pgina umumiylikka ega bo’lib, differensial tenglamalar fanining asosini tashkil etadi. Differensial tenglamalar oliy matematikaning asosiy fundamental va tadbiqiy bo’lim laridan biri bo’lib, u bakalavriatning matematika, mexanika, amaliy matematika va informatika kabi yo ’nalishlari o’quv rejasidagi umumkasbiy fanlardan biri hisoblanadi. Hozirgi kunda fan va texnikaning jadal rivojlanib borishi turli murakkab texnik, mexanik, fizik va boshqa jarayonlarni o’rganish, ularni matematik nuqtai nazardan tasavvur qilish, matematik modellarini tuzish va yechish nafaqat tadbiqiy jihatdan balki nazariy jihatdan ham dolzarb, ham amaliy axamiyatga ega bo’lgan muammolardan biri hisoblanadi. Differensial tenglamalar fanining asosiy maqsadi bakalavriatning matematika yo’nalishi talabalariga bu fanning fundamental asoslarini yetarli darajada o’qitish, bu nazariy bilimlar yordamida mexanika, fizika, texnika va boshqa sohalarda sodir bo’ladigan jarayonlarni differensial tenglamalar ko’rinishda ifodalashni, matematik modellar uchun masalaning berilishiga qarab, ularni yechishga o’rgatish va
ixtisoslik fanlarini o’rgatishga tayyorlashdan iborat. Differensial tenglamalar fani fundamental va tadbiqiy fanlarning asosini tashkil qiladi. Jarayonlarning differensial tenglamalar yordamida matematik modelini tuzish va yechimlarini topish usullarini o ’rganish, masalaning berilishiga qarab, uning yechimini nazariy tahlil qilish differensial tenglamalar fanining asosiy vazifasiga kiradi.
DIRAK SISTEMASI UCHUN LYAPUNOV FUNKSIYASI VA UNING XOSSALARI Quyidagi Dirak sistemasini ko`rib chiqamiz , )
) ( ) ( ) ( 0 1 1 0 2 1 2 1 2 1
y y y x p x q x q x p y y Ly
) , ( x .
(1.1) Bu yerda ) (x p va
) (x q haqiqiy uzluksiz davrli funksiyalar, esa kompleks parametr. (1.1) tenglamaning ushbu 0 1 ) , 0 (
c ,
1 0 ) , 0 ( s
boshlang`ich shartlarni qanoatlantiruvchi yechimlarini ) , ( ) , ( ) , ( 2 1 x c x c x c va
) , ( ) , ( ) , ( 2 1 x s x s x s
orqali belgilaymiz. ) , ( x c va
) , ( x s vektor-funksiyalar quyidagi integral tenglamalarni qanoatlantiradi: , ) , ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0 1 1 0 0 1 ) , ( 0
t c t p t q t q t p x c x
dt t s t p t q t q t p x s x ) , ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0 1 1 0 1 0 ) , ( 0 . Bu integral tenglamalardan ) , ( x c va
) , ( x s yechimlar mavjudligi, yagonaligi va x ning har bir fiksirlangan qiymatida
parametrga nisbatan butun funksiya bo`lishi kelib chiqadi. Bu yechimlar, (1.1) tenglamaning yechimlar fundamental
sistemasini tashkil qiladi hamda bu yechimlar uchun quyidagi Vronskiy ayniyati bajariladi: 1 ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( 1 2 2 1
x s x c x s x c .
) ,
) , ( ) ( 2 1 s c funksiyaga Dirak operatori uchun Lyapunov funksiyasi yoki Xill diskriminanti deyiladi.
] , 0 [
kesmada Dirak sistemasi uchun qo`yilgan davriy ) ( ) 0 ( 1 1
y y , ) ( ) 0 ( 2 2 y y chegaraviy shartli masalaning xos qiymatlari haqiqiy bo`ladi va ular 0 2 ) (
tenglamaning ildizlari bilan ustma-ust tushadi; b) ]
0 [
kesmada Dirak sistemasi uchun qo`yilgan antidavriy ) ( ) 0 ( 1 1
y y , ) ( ) 0 ( 2 2
y y chegaraviy shartli masalaning xos qiymatlari haqiqiy bo`ladi va ular 0 2
( tenglamaning ildizlari bilan ustma-ust tushadi.
0 2 ) (
va 0
) (
tenlamalarning ildizlari haqiqiy bo`ladi. Misol. Agar 0 ) (
p , 0 ) ( x q bo`lsa, u holda
x x x c sin
cos ) , ( ,
x x x s cos
sin ) , ( ,
cos
2 ) (
bo`ladi. 0 2 ) (
tenglamaning ildizlari
, 2 4 1 4 bo`ladi; 0 2
( tenglamaning ildizlari Z n n n n , 1 2 2 4 1 4
bo`ladi. Ushbu
) , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( sin ) ( cos ) ( cos ) ( sin sin cos
) , ( 0 ,
t s t p t q t q t p t x t x t x t x x x x s x ) , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( sin ) ( cos ) ( cos ) ( sin cos sin
) , ( 0
integral tenglamalar yordamida ) ,
x c va
) , ( x s yechimlarning katta
lardagi asimptotikasini o`rganish mumkin. Bunda quyidagi asimptotik formulalar kelib chiqadi: ] , 0 [ , , sin
cos ) , ( Im
e O x x x c x ,
] , 0 [ , , cos sin
) , ( Im
e O x x x s x . Bulardan, xususan, Lyapunov funksiyasining haqiqiy lardagi asimptotikasi kelib chiqadi: . , 1 cos
2 ) (
O
o`rinli: . ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( )] , ( ) , ( [ ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( )] , ( ) , ( [ ) , ( ) , ( ) ( 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 0 2 1 1 1 1 2 1 2 1 2
t c s t s t c s c t s c t c s t s t c s c t s c d d
(1.2) Teorema 1.3. Agar haqiqiy son uchun ushbu 2 )
2
tengsizlik bajarilsa, u holda bu son uchun quyidagi tengsizliklar ham o`rinli bo`ladi: 0 )
( ) ( 2 c d d ,
0 ) , ( ) ( 1 s d d .
2 )
2
tasmada Lyapunov funksiyasing ekstremal qiymatlari yo`q. Teorema 1.4. a) son
2 ) (
tenglamaning ikki karrali ildizi bo`lishi uchun quyidagi tengliklar bajarilishi zarur va yetarlidir: 0 )
( , 1 ) , ( , 1 ) , ( , 0 ) , ( 2 1 2 1 c c s s ; b) son
2 ) ( tenglamaning ikki karrali ildizi bo`lishi uchun quyidagi tengliklar bajarilishi zarur va yetarlidir:
0 ) , ( , 1 ) , ( , 1 ) , ( , 0 ) , ( 2 1 2 1 c c s s .
son
2 ) (
tenglamaning ikki karrali ildizi bo`lsa, u holda 0 )
lokal maksimumga erishadi. b) agar son
2 ) ( tenglamaning ikki karrali ildizi bo`lsa, u holda 0 )
erishadi. Download 1.01 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|