Reja kirish asosiy qism

5-misol.  Ushbu  differensial  tenglamalar  sistemasining 

1

2

( )

( ,

)

0

x t

x x





 

yechimini turg‘unlikka tekshiring: 

3

1

1

2

2

1

1

2

,

1

(

).

2

x

x

x

x x

x

  





 





 

Yechish. Berilgan sistema uchun Lyapunov funksiyasini 

2

2

1

2

1

2

( ,

)

2

V x x

x

x





 

ko‘rinishda  izlaymiz.  Endi 

1

2

( ,

)

V x x

  funksiyasining  berilgan  sistema  bo‘yicha 

hosilasini hisoblaymiz: 

3

3

2

4

2

2

3

1

2

1

2

1

1

2

1

1

2

1

1

2

1

2

1

2

4

2 (

)

4 (

)

2

2

4

2

dx

dx

dV

x

x

x

x

x

x

x x

x

x x

x x

dt

dt

dt











 

 







 

2

2

2

2

2

1

1

2

1 2

1

1

2

2

(

2

)

2

(

)

0,

(0,0)

0,

(0,0)

0

x x

x

x x

x x

x

V

V

 





 









. 

Demak,  1-teoremaga  ko‘ra 

1

2

( )

( ( ),

( ))

0

x t

x t x t





  yechim  Lyapunov  ma’nosida 

turg‘un ekan. 

6-misol. 

Ushbu 

differensial 

tenglamalar 

sistemasining 

1

2

( )

( ( ),

( ))

(0,0)

x t

x t x t





 muvozanat nuqtasini turg‘unlikka tekshiring: 

 

1

2

2

1

x

x

x

x





  



 

Yechish. Bu misolda Lyapunov funksiyasini  

2

2

1 2

1

2

(

)

V x x

x

x





 

ko‘rinishida  tanlaymiz  va  uning  berilgan  sistema  bo‘yicha  to‘liq  hosilasini 

hisoblaymiz: 

1

2

1

2

1

2

2

1

1 2

1 2

2

2

2 ( )

2 (

)

2

2

0

dx

dx

dV

x

x

x x

x

x

x x

x x

dt

dt

dt

















, 

(0,0)

0

V



. 

 

Demak,  (0,0)   muvozanat  nuqta  Lyapunov  ma’nosida  turg‘un,  lekin 

asimptotik turg‘un emas (noturg‘un). Chunki 2-teoremaning shartlari bajarilmaydi. 

7-misol.  Ushbu  differensial  tenglamalar  sistemasining 

( )

0

x t



  yechimini 

turg‘unlikka tekshiring: 

3

2

1

1

1

2

2

5

2

2

1

2

,

2

dx

x

x x

dt

dx

x

x x

dt



  







 





 

Yechish.  Berilgan  differensial  tenglamalar  sistemasiga  mos  keluvchi 

Lyapunov funksiyasi sifatida quyidagi  

2

2

1

2

V

x

x





 kvadratik formani olamiz. Endi 

1

2

( )

( ,

)

V x

V x x



  funksiyaning  berilgan  sistema  bo‘yicha  to‘liq  hosilasini 

hisoblaymiz: 

3

2

5

1

2

1

2

1

1

1

2

2

2

1

2

2

2

4

2

2

6

1

2

1

2

1

2

2

2

2 (

)

2 ( 2

)

2

4

2

2

.

dV

dx

dx

x

x

x

x

x x

x

x

x x

dt

dt

dt

x

x

x x

x x







 









 







 

Bundan  ko‘rinadiki, 

( )

0

x t



  nuqtaning  biror  atrofida 

dV

W

dt



 

funksiyasining 

ishorasi  ushbu

 

2

2

1

2

2

4

x

x





  kvadratik  formaning  ishorasi  bilan  aniqlanadi.  Chunki 

4

2

2

6

1

2

1

2

2

2

0

x x

x x





. 

Shuning  uchun 

0,

dV

W

dt





 

( ) 0

0

x t

dV

W

dt







. 

Demak, 

 

Lyapunov teoremasining sharti bajariladi. Bunga ko‘ra,  ( )

0

x t



 yechim asimptotik 

turg‘un bo‘ladi. 

3-teorema.  (Barbashin,  Krasovskiy).  Aytaylik,  x





  sharda  aniqlangan 

quyidagi 

1

( ) 0

( )

,

(0)

0,

( )

0 (

0),

0

x t

dV

V x

C

V

V x

x

dt













 

shartlarni 

qaotlantiruvchi 

( )

V x  

funksiya 

mavjud 

bo‘lib, 

ushbu 

( ) 0

( ) :

0

x t

dV

N

x t

dt



























  to‘plamga  faqat  ( )

0

x t



  traektoriya  qarashli  bo‘lsin.  U 

holda (1) muxtor sistemaning  ( )

0

x t



 yechimi asimptotik turg‘un bo‘ladi. 

Teoremani isbotlash o‘rniga quyidagi misolni keltiramiz. 

 

8-misol.  Ushbu  differensial  tenglamalar  sistemaning 

1

2

( )

( ( ),

( ))

0

x t

x t x t





 

yechimini turg‘unlikka tekshiring: 

1

2

3

2

1

2

,

,

x

x

x

x

ax a

const







  





 

Yechish.  1-hol. 

0

a



  bo‘lsin.  U  holda  berilgan  differensial  tenglamalar 

sistemasidan 

3

2

1

1

2

dx

x

dx

x

 

 

tenglamani topamiz. Bu tenglamani integrallab, 

2

4

2

1

2

( )

( )

,

x t

x t

c c

const







 

munosabatni hosil  qilamiz. Endi quyidagi 

2

4

2

1

( )

2

V x

x

x





 

funksiyani  qaraylik  va  uning  berilgan  muxtor  sistema  bo‘yicha  olingan  hosilasini 

hisoblaylik: 

3

3

3

3

3

2

1

2

1

2

1

1

2

2 1

1

2

4

4

4 (

)

4

( )

4

4

0

dx

dx

dV

x

x

x

x

x x

x x

x x

dt

dt

dt











 





. 

 

Demak, 1-teoremaga ko‘ra,  ( )

0

x t



 yechim  Lyapunov  ma’nosida turg‘un bo‘ladi. 

Ammo 

( )

0

x t



  yechim  asimptotik  turg‘un  bo‘lmaydi.  Chunki,  berilgan 

sistemaning ixtiyoriy nolmas yechimi uchun 

4

2

1

2

( )

2

( )

,

x t

x t

c c

const







 

tenglik o‘rinli. Bunda  t

 

 da 

4

2

1

2

( )

2

( )

0

x t

x t

c



 



. 

 

2-hol. 

0

a



 bo‘lsin. Bu holda ham yuqoridagi 

2

4

1

2

2

1

( ,

)

2

( )

( )

V x x

x t

x t





 

funksiyani olib, uning berilgan sistema bo‘yicha hosilasini hisoblaymiz: 

2

3

3

3

2

1

2

1

2

1

2

1

2

3

2

3

2

2 1

2

1

2

2

4

4

4

(

)

4

(

)

4

4

4

4

0.

dx

dx

dV

x

x

x

x

ax

x x

dt

dt

dt

x x

ax

x x

ax







 





 





 



 

Bu  yerda  tenglik 

2

( )

0

x t



  to‘g‘ri  chiziqda  bajariladi.  Bu  to‘g‘ri  chiziqda 

3

2

1

( )

0,

0

x t

x

x

  



. Demak 3-teoremaga ko‘ra x(t)=0 yechim asimptotik turg‘un 

bo‘ladi. 

 

3-hol. 

0

a



 bo‘lsin. Bu holda 

2

2

4

0

dV

ax

dt

 



 

munosabat o‘rinli bo‘lgani uchun hozircha  ( )

0

x t



 yechimni turg‘unlikka tekshira 

olmaymiz. Keyinchalik  ( )

0

x t



 yechimning turg‘un emasligi ko‘rsatiladi. 

 

4-teorema  (Chitaev).  Aytaylik 

0

x



  muvozanat  nuqtaning  U  atrofida 

aniqlangan ushbu  

1

( )

( ),

(0)

0,

( )

0

V x

C U

V

V x







 va  ( )

(

( ), ( )),

( )

0

V x

gradV x f x

V x





 

munosabatlarni  qanoatlantiruvchi  uzluksiz  differensiallanuvchi  funksiya  mavjud 

bo‘lsin.  Agar  shunday 

0

A



  soni  va 

U

  atrofda  joylashgan 

0

U

–  soha  mavjud 

bo‘lib, 

( )

V x

A



, 

0

x U

 

  tengsizlik  bajarilsa,  u  holda 

0

x



  yechim  noturg‘un 

bo‘ladi. 

 

9-misol. Ushbu differensial tenglamalar sistemasining 

1

2

( )

( ( ),

( ))

0

x t

x t x t





 

yechimini turg‘unlikka tekshiring: 

 

4

1

1 2

2

2

2 1

x

x x

x

x x

 









 

 

Yechish. Quyidagi 

1 2

1 2

(

)

V x x

x x



 

funksiyani  qaraylik  va  uning  berilgan  sistema  bo‘yicha  to‘liq  hosilasini 

hisoblaylik: 

4

2

5

3

4

4

1

2

2

1

2

1 2

1

2 1

1 2

2 1

1 2

2

1

(

)

(

)

(

)

dx

dx

dV

x

x

x x x

x x x

x x

x x

x x x

x

dt

dt

dt

















. 

Endi 

0

x



 muvozanat nuqtaning 

U

 atrofi bilan 

1

2

x x

A



 giperbola ajratgan 

0

U

 - 

sohani chizmada ko‘rsatish mumkin: 

 

6-chizma 

Ko‘rinib  turibdiki, 

2

2

2

2

1

2

1

2

0

2 ,

,

2 ,

x

x

A x

x

x

x

A

x U











 

.  Bundan  va 

lemmadan 

0



 

 soni topilib, 

4

2

1

2

x

x







, ya’ni 

0

( )

0,

V x

A

x U









 bajarilishi 

kelib  chiqadi.  Demak,  Chitaev  teoremasiga  ko‘ra, 

( )

0

x t



  yechim  noturg‘un 

bo‘ladi.  

10-misol. 

Ushbu 

differensial 

tenglamalar 

sistemasining 

1

2

( )

( ( ),

( ))

(0,0)

x t

x t x t





 yechimini turg‘unlikka tekshiring: 

3

2

1

1

1 2

2

1 2

2

,

x

x

x x

x

x x

 









 

Yechish. Quyidagi  

2

1

2

1

2

( ,

)

V x x

x

x

 

 

funksiyani olib, uning berilgan sistema bo‘yicha to‘liq hosilasini hisoblaymiz: 

 

3

2

3

2

2

3

1

2

2

1

1 2

2

1

2

1

1 2

1 2

1

2

2

2 (

)

2

2

0

dx

dx

dV

x

x

x x

x x

x

x

x x

x x

x

dt

dt

dt























. 

1

2

( )

( ,

)

0

V x

V x x





  da 

2

1

2

x

x



  tengsizligini  qanoatlantiruvchi  nuqtalar  to‘plami 

0

U

 sohani beradi. 

 

7-chizma 

0

2

2

1

2

1

2

2

0

0

1

2

1

2

,

( ,

)

(

)

0

x

x

x

x

x

U

V x x

x

x

























, 

2

0

1

2

2

1

2

1

2

( ,

)

(

)

0

x U

x

x

V x x

x

x











. 

Demak,  Chitaev  teoremasiga  ko‘ra, 

1

2

( )

( ( ),

( ))

0

x t

x t x t





  yechim  noturg‘un 

bo‘ladi.  

 

3. XULOSA

Bu  kurs  ishni  bajarish  davomida  Dirak  operatori  uchun  esa

funksiyaga  potensial  deyiladi.  Berilgan  potensial  bo`yicha  bu

operatorlarning  spektral  harakteristikalarini  topish  masalasiga

to`g`ri 

masala, 

aksincha 

spektral 

harakteristikalar 

orqali

potensialni  topish  masalasiga  bu  operatorlar  uchun  teskari

masala deyiladi.

K.Gardn

еr,  J.Grin,  M.Kruskal,  R.Miura  larning  bir  qator  ishlaridan

keyin  bu  operatorlarga  bo`lgan  qiziqish  yanayam  ortdi.  Bu

operatorlar 

nochiziqli 

evolyutsion 

tenglamalar 

uchun 

Koshi

masalasini  yechishda  qo`llanila  boshlandi.  Koshi  masalasini

o'rganish,  davriy  patensialli  davriy  potensialli  Shturm-Liuvill  va

Dirak  operatorlari  uchun  to`g`ri  va  teskari  masalalarni  o`rganishga

olib  keladi.  Bu  holatda  operatorlarning  spektri  zonali  tuzilishga  ega

bo`ladi.

Davriy  koeffitsiyentli  operatorlar  uchun  teskari  masala  ancha

murakkab, 

chunki 

spektral 

berilganlardagi 

ozgina 

o`zgarish

potensialning davriyligini

4. FOYDALANGAN ADABIYOTLAR

1.  Шарипов  Ш.Р.,  Мўминов  Н.С.  Оддий  дифференциал  тенгламалар. 

Тошкент. “Ўқитувчи” 1992, 310 б.

2.  Эльсгольц  Л.Э.  Дифференциальные  уравнения  и  вариационное  исчис

ление. М.: Наука, 1969, 424 с.

3. 

Ўринов  А.Қ.  Оддий  дифференциал  тенгламалар  учун  чегаравий 

масалалар. – Тошкент: Mumtoz so‘z, 2014. 164 б.

4.  Оппоқов  Ю.П,  Турғунов  Н.,  Гаффаров  И.А.  Оддий  дифферен

циал  тенгламалардан  мисол  ва  масалалар  тўплами.  (Ўқув  қўлланма). 

Тошкент  – 2009 йил.

5. 

Morris  Tenebout,  Harry  Pollard.  Ordinary  differential  equations. 

Birkhhuzer.  Germany, 2010.

6. 

Robinson  J.C.  An  Introduction  to  ordinary  differential  equations. 

Cambridge  University Press 2013.

7.  Hasanov A.B.  Shturm – Liuvill chegaraviy masalalari nazariyasiga kirish.

 1 – qism. T.: Fan, 2018