Reja kirish asosiy qism

 

Ushbu

dx

f



x



,

x

x(t),

dt





 

 

 

 

(1) 

muxtor 

differensial 

tenglamalar 

sistemasini 

qaraylik. 

Bu 

yerda 

 

     

 





1

2

3

,

,

,...

T

n

f x

f x

f

x

f

x

f

x



, 

n

R

G



  sohada  aniqlangan  uzluksiz 

differensiallanuvchi  vektor-funksiya, 

 

   

 





1

2

,

,...

T

n

x

x t

x t

x t

x t





-  nomalum 

vektor-funksiya, 

t

R



. Berilgan (1) muxtor sistemaga qo‘yilgan 

 

0

0

0

,

x

x

x

G





   

 

 

 

 

 

Koshi masalasining yechimini 





0

,

x t x  orqali belgilaymiz. 

Faraz  qilaylik, 

 

0

x t

G

 

  (1)  sistemaning  muvozanat  nuqtasi,  yani 

 

0

0

f



  bo‘lib,  (1)-(2)  Koshi  masalasining 





0

,

x t x   yechimi  barcha 

0

t



,  yani 

0

0,

r

x

r

 



, 

0

x

G

 

  lar  uchun 





0

,

x t x   yechim 

0

t

 

  larda  aniqlangan 

bo‘lsin. 

Aytaylik,  ( ),

n

V x

x

G

R

 

 sohada aniqlangan uzluksiz differensiallanuvchi, 

yani 

 

1

( )

V x

C G



  vektor–funksiya  bo‘lsin.  Bundan  tashqari 

U

G



-(1)  muxtor 

sistema 

0

x



 muvozanat nuqtasining biror atrofi bo‘lsin. 

1-ta’rif. 

 

V x   vektor-funksiyaning  (1)  muxtor  sistema  bo‘yicha  to‘liq 

hosilasi  deb  ushbu 

   





,

,

gradV x

f x

x

G



  skalyar  ko‘paytmaga  aytiladi  va 

quyidagicha belgilanadi: 

 

   





1

2

3

1

(

,

)

,

,

,...

,

n

i

n

i

i

dV

V

V x

gradV x

f x

f x x x

x

x

G

dt

x

















. 

2-ta’rif. Quyidagi  

1) 

 

0,

\ {0},

(0)

0

V x

x U

V

  



,  

2) 

 

   









,

0,

dV x

grad V x

f x

x U

dt



  

 

2.3. TURG‘UNLIKNI LYAPUNOV FUNKSIYASI YORDAMIDA 

TEKSHIRISH

 

shartlarni 

qanoatlantiruvchi 

 

 

1

V x

C U



 

vektor–funksiyaga 

Lyapunov 

funksiyasi deyiladi. 

1-lemma. Faraz qilaylik, 

1

1

,

x U

U U





-

0

x



 nuqtaning biror atrofi bo‘lsin. 

U holda 

0

x



 bo‘lishi uchun  ( )

0

V x



 bo‘lishi zarur va yetarli. 

Isbot.  Agar 

0

x



  bo‘lsa,  u  holda  Lyapunov  funksiyasining  ta’rifidan 

 

0

V x



  ekanligi  kelib  chiqadi.  Aytaylik, 

 

0

V x



  bo‘lsin,  u  holda 

0

x



 

bo‘lishini  ko‘rsatamiz.  Teskarisini,  ya’ni 

 

0

V x



  bo‘lganda 

0

x





  deb  faraz 

qilaylik.  U  holda  shunday 

1

k

x

U

 

  ketma  ketlik  va 

0



 

  soni  topilib, 

k

x





 

tengsizlik  bajariladi.  Ushbu  x

a



  sharni 

1

U

  da  joylashadigan  qilib 

0

a



  sonini 

tanlaymiz. Quyidagi 

 

0

inf

x a

V

V x

  



 

belgilashni kiritaylik. Ushbu 

1

{

;

}

x U

x

a









 to‘plam kompakt bo‘lgani uchun, 

shunday 

1

,

x U

x

a



 

 

  topilib, 

 

0

V x

V



  o‘rinli  bo‘ladi.  Bundan 

0

0

V



  va 

 

0

0

k

V x

V





 kelib chiqadi. Bu esa ziddiyat.■ 

1-teorema  (Lyapunov).  Agar 

 

0

x t



  muvozanat  nuqtaning  biror 

U

 

atrofida  (1)  sistema  uchun 

 

V x   Lyapunov  funksiyasi  mavjud  bo‘lsa,  u  holda  (1) 

sistemasining 

 

0

x t



 yechimi Lyapunov ma’nosida turg‘un bo‘ladi. 

Isbot. 

0





  sonini  shunday  tanlaymizki,  x





  shar  ushbu 

U

  atrofda 

joylashsin. Quyidagi 

inf

( )

x

V

V x









 

belgilashni  kritamiz.  U  holda 

0

V





  o‘rinli.  Chunki, 

 

V x -musbat  aniqlangan. 

Bundan  tashqari 

0

 

 

  tengsizlikni  qanoatlantiruvchi 

0





  soni  topilib, 

 

V x

V





 tengsizlik barcha 

,

x x







larda bajariladi. Chunki  (0)

0

V



 va 

 

V x -

uzluksiz, ya’ni  

 

 

0

lim

0

0;

0,

0,

,

( )

x

V x

V

x

V x















   





 

 

o‘rinli.  Bunda 

V







  deb 

( )

V x

V





  ni  olamiz.  Endi  (1)  sistemaning 

0

x





 

tengsizlikni  qanoatlantiruvchi  boshlang‘ich  shartlardagi  ixtiyoriy 

0

( ,

)

x t x

  yechimi 

uchun 

0

( ,

)

,

0

x t x

t





 

  bahoni  o‘rinli  bo‘lishini  ko‘rsatamiz.  Bu  esa  o‘z 

navbatda 

 

0

x t



  yechimning  Lyapunov  ma’nosida  turg‘unligini  bildiradi. 

Teskarisini  faraz  qilaylik.  U  holda  shunday 

0

T



  soni  topilib, 

0

( ,

)

x T x





  va 

0

( ,

)

, 0

x t x

t

T





 

  da  bajariladi.  Chunki  Lyapunov  funksiyasining  tarifiga 

ko‘ra 

 

0,

V x

x U



 

 

bo‘lgani 

uchun 









 

0

,

,

0,

V x t x

t

T



 

oraliqda 

o‘smaydigan funksiya bo‘ladi. Bunda 

0

( )

V x

V





 ekanligini inobatga olsak, 









 

0

0

,

V x T x

V x

V







 

o‘rinli.  Bu  esa 

0

T



  sonini  tanlanishiga  va 

V



  ning  aniqlanishiga  zid.  Shuning 

uchun  farazimiz  noto‘g‘ri  bo‘lib,  ( )

0

x t



  muvozanat  nuqta  Lyapunov  ma’nosida 

turg‘un bo‘ladi. 

1-izoh. Bu teorema xususan,  ( )

0,

V x

x U





 bo‘lgan holda ham o‘z kuchini 

saqlaydi. Bu holda  ( )

V x - Lyapunov funksiyasi 

0

x



 da qatiy minimumga ega.  

2-teorema  (Lyapunov).  Agar 

( )

0

x t



  muvozanat    nuqtasining  biror 

U

atrofida  (1)  sistema  uchun  shunday 

 

V x -Lyapunov  funksiyasi  mavjud  bo‘lib, 

 

0

V x



 

\ {0}

x U

 

  tengsizlikni  qanoatlantirsa,  u  holda  (1)  muxtor  sistemaning 

 

0

x t



 yechimi asimptotik turg‘un bo‘ladi. 

Isbot. 1-teoremaning shartlari bajarilgani  uchun 

 

0

x t



 yechim  Lyapunov 

ma’nosida  turg‘un  bo‘ladi,  ya’ni 

0



 

  soni  uchun 

( )

0

  

 



  soni  topilib, 

0

x





 tengsizligini  qanoatlantiruvchi barcha 

0

x

 lar uchun  ( )

( )

x t

f t



,  

0

(0)

x

x



  Koshi  masalasining  har  bir 

0

( ,

)

x t x

  yechimi  uchun 

0

( ,

)

,

0

x t x

t





 

 

baho  o‘rinli  bo‘ladi.  Yuqoridagi  1-lemmaga  asosan,  ushbu 

0

x





  tengsizlikning 

bajarilishidan 





0

( ,

)

0,

V x t x

t



 

 

bo‘lishini 

ko‘rsatamiz. 

Chunki 

( )

0,

V x

x U





  bo‘lgani  uchun 





0

( ,

)

V x t x

-t   o‘zgaruvchi  bo‘yicha  qat’iy 

 

kamayuvchidir.  Aytaylik, 





0

lim

( ,

)

t

V x t x

A





  bo‘lsin.  U  holda 

0

A



  ekanligini 

ko‘rsatamiz.  Faraz  qilaylik, 

0

A



  bo‘lsin. 





0

( ,

)

0

V x t x



  bo‘lgani  uchun  1-

lemmaga ko‘ra shunday 

1

0





 soni topilib, 

1

0

2

( ,

)

,

0

x t x

t













 

 

bajariladi. Quyidagi 





1

2

1

inf

( )

x

V

V x





 





 

belgilashni  kiritaylik.  U  holda 

1

0

V



,  chunki 

1

( )

V x

V

 

,  u  holda  bu  tengsizlikni 

trayektoriya bo‘yicha 

0

t



 dan  t  gacha integrallab, 





0

0

1

( ,

)

(

)

V x t x

V x

V t



 

 

munosabatni  topamiz.  Bundan 





0

( ,

)

,

V x t x

t

   

  kelib  chiqadi.  Bu  esa 





0

( ,

)

0

V x t x



 

munosabatga 

zid. 

Hosil 

bo‘lgan 

ziddiyat 

farazimizning 

noturg‘unligini ko‘rsatadi. Shuning uchun 

0

A



, ya’ni 





0

lim

( ,

)

0

t

V x t x





.■ 

1-misol. Ushbu differensial tenglamalar sistemasining 

1

2

( )

( ( ),

( ))

0

x t

x t x t





 

yechimini turg‘unlikka tekshiring: 

2

2

5

1

2

1

2

1

3

3

2

1

2

1

2

3

4 ,

.

x

x

x x

x

x

x

x

x x

  







  





 

Yechish.  Berilgan  sistemaga  mos  keluvchi  Lyapunov  funksiyasi  sifatida 

ushbu 

2

2

1

2

1

2

1

( )

( ,

)

(

)

2

V x

V x x

x

x







 

kvadratik formani olamiz. Endi  ( )

V x  funksiyaning berilgan sistema bo‘yicha  

hosilasini hisoblaymiz: 

2

2

5

3

3

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

3

2 2

1

2

(

3

4

)

(

)

(2

)

0.

dx

dx

dV

x

x

x x

x x

x

x

x

x

x x

dt

dt

dt

x

x













 











 

 

Demak, 

0

dV

dt



  bo‘lib, 

(0)

0

V



  bo‘lgani  sababli 

( )

V x

–berilgan  sistemaning 

Lyapunov  funksiyasi  bo‘ladi.  Shuning  uchun  1-teoremaga  ko‘ra  ( )

0

x t



  yechim 

Lyapunov ma’nosida turg‘un bo‘ladi. 

2-misol. Ushbu 

sin

x

x

x





 

differensial tenglamaning  ( )

0

x t



 yechimini turg‘unlikka tekshiring. 

Yechish. Quyidagi 

2

( )

V x

x



 

kvadrat  funksiyani  qaraylik.  Endi  uning  berilgan  tenglama  bo‘yicha  hosilasini 

hisoblaymiz: 

2

(

( ))

2 ( )

2 (sin

)

0,

0

dV

d

dx

x t

x t

x

x

x

x

dt

dt

dt













. 

Demak ikkinchi teoremaga ko‘ra  ( )

0

x t



 yechim asimptotik turg‘un bo‘ladi. 

3-misol. Ushbu differensial tenglamalar sistemasining 

1

2

( )

( ( ),

( ))

0

x t

x t x t





 

yechimini turg‘unlikka tekshiring: 

3

5

1

2

1

3

2

1

2

( )

2

,

( )

.

x t

x

x

x t

x

x











  



 

Yechish. Quyidagi 

2

4

1

2

1

2

1

( ,

)

(

)

2

V x x

x

x





 

musbat  aniqlangan  funksiyani  qaraylik.  Endi 

( )

V x   funksiyaning  berilgan  sistema 

bo‘yicha hosilasini hisoblaymiz: 

3

3

5

3

3

6

6

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

2

(2

)

2

(

)

2

0,

dx

dx

dV

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

dt

dt

dt











 

  



 

(0,0)

0

V



. 

Demak 

1

2

( )

( ( ),

( ))

0

x t

x t x t





 yechim 2-teoremaga ko‘ra asimptotik turg‘un bo‘lar 

ekan. 

 

4-misol. 

Ushbu 

differensial 

tenglamalar 

sistemasining 

1

2

( )

( ( ),

( ))

0

x t

x t

x t





 yechimini turg‘unlikka tekshiring: 

3

1

2

1

3

2

1

2

,

x

x

x

x

x

x

   





 



 

Yechish. Berilgan sistema uchun Lyapunov funksiyasini ushbu 

2

2

1

2

1

2

( ,

)

V x x

x

x





 

ko‘rinishda olamiz va uning sistema bo‘yicha olingan hosilasini hisoblaymiz: 

3

3

4

4

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

2

2

2 (

)

2 (

)

2

0

dx

dx

dV

x

x

x

x

x

x x

x

x

x

dt

dt

dt







 





 





, 

1

2

( ,

)

0,

0;

(0,0)

(0,0)

0

V x x

x

V

V









. 

Demak, 2-teoremaga ko‘ra  ( )

0

x t



 yechim asimptotik turg‘un bo‘lar ekan.