Reja Kirish I bob. Matematik fizika tenglamalari uchun asosiy masalaning qo’yilishi

1.Tor tebranish tenglamasi. Mexanikaning (Tor, sterjen, membrana, uch o’lchovli hajmlarning tebranishlari), fizikaning (elektromagnit tebranishlar) ko’p masalalari
(1.1.1)
ko’rinishidagi tebranish tenglamalariga olib kelinadi. Bundagi u(x,t) noma’lum funksiya n ta fazoviy koordinatalarga hamda t vaqtga bog’liqdir. -koeffisiyentlar tebranish sodir bo’layotgan muhitning xossalari bilan aniqlanadi, ozod had F(x,t) esa tashqi ta’sirning (ya’ni ta’sir qilayotgan tashqi kuchlarning) intensivligini ifodalaydi. (1.1.1) tenglamada ishtirok etayotgan div va grad operatorlar ta’rifiga asosan

(1.1.1) tenglamaning keltirib chiqarilishini tor tebranishining misolida ko’rsatamiz. Tor deganda erkin egiladigan ingichka ip tushuniladi, boshqacha aytganda, tor shunday qattiq jismki, uning uzunligi boshqa o’lchovlaridan anchagina ortiq bo’ladi. Torga ta’sir qilib turgan taranglik kuchi yetarli katta deb faraz qilamiz. Shu sababli torning egilgandagi qarshiligini tarangligiga nisbatan hisobga olmasa ham bo’ladi. Ikki nuqta orasida tarang qilib tortilgan torni tekshiramiz. Aniqlik uchun bu Ox o’qida joylashgan bo’lsin. Biz torning tekis ko’ndalang tebranishini tekshiramiz, ya’ni bu shundy tebranishki tor hamma vaqt bir tekislikda yotadi va torning har bir nuqtasi Ox o’qqa perpendikulyar bo’yicha siljiydi. Bu degan so’z, muvozanat vaqtida x absissaga ega bo’lgan torning nuqtasi Tebranish jarayonida ham shu absissaga ega bo’ladi (1.1.1-chizma)

1.1.1-chizma
Bu nuqtaning ordinatasi u vaqt o’tishi bilan o’zgaradi, ya’ni u torning muvozant holatidan siljishidan iborat. Tor tebranishining matematik qonunini topish uchun u ning t vaqtga bog’liqligini, ya’ni u=u(x,t) funksiyani topish kerak. Biz torning faqat kichik tebranishlarini tekshiramiz, ya’ni u(x,t) va ga nisbatan yuqori tartibli kichiklikdagi miqdorlarni hisobga olamiz.
Tor egilishga qarshilik ko’rsatganligi tufayli, uning t vaqtda x nuqtadagi tarangligi T(x, t) x nuqtaga torga o’tkazilgan urinma bo’yicha yo’nalgan bo’ldi. Torning ixtiyoriy qismini olamiz. Bu qism tebranish davrida shaklga keladi. Buning t vaqtdagi yoy uzunligi

ya’ni kichik tebranishlarda tor qismlarining uzunligi cho’zilmaydi va qisqarmaydi. Demak, Guk qonuniga asosan taranglik miqdori ga bog’liq bo’lmagan o’zgarmas bo’lib qoladi, ya’ni .
Tor tebranishining tenglmasini chiqarish uchun Dalamber prinsipidan foydalanamiz.
Bunga asosan, torning ajratilgan qismiga ta’sir qiluvchi barcha kuchlarning yig’indisi nolga teng bo’lishi kerak. Birlik uzunlikda hisoblangan va torga Ou o’qqa parallel ta’sir qiladigan tashqi kuch p(x,t) bo’lsin.
qismga ta’sir qiladigan kuch

ga teng bo’ladi.
nuqtadagi tarnglikning Ou dagi proyeksiyasi ga nuqtada esa ga teng bo’ladi. Ushbu

formulaga asosan

tenglikka ega bo’lamiz. Torning chiziqli zichligi, ya’ni tor kichkina bo’lagi massasining uning uzunligiga bo’lgan nisbatining limiti, bo’lsin.
M nuqta tezligi tezlanishi bo’lganligi uchun bo’lakning inersiya kuchi

ga teng bo’ladi. Dalamber prinsipiga asosan

tenglikka ega bo’lamiz. va lar ixtiyoriy bo’lgani uchun
(1.1.2)
Bu esa tor kichik ko’ndalang tebtanishlarining tenglamasidir.
Agar zichlik o’zgarmas bo’lsa, torning tebranish tenglamasi
(1.1.3)
ko’rinishida yoziladi, bunda . (1.1.3) tenglama odatda bir o’lchovli to’lqin tenglamasi ham deyiladi. Torga ta’sir qilayotgan tashqi kuch p(x, t)=0 bo’lsa, torning erkin tebranish tenglamasi
(1.1.4)
kelib chiqadi.

1. 
   ko’rinishidagi
   

Tenglama egiluvchan sterjenning kichik bo’ylama tebranishlarini ham ifodalaydi, bunda S(x) –sterjen ko’ndalang kesimining yuzi, E(x)-x nuqtadagi Yung moduli.
Xuddi tor tebranish tenglamasiga o’xshash membrananing kichik ko’ndalang tebranishlarining tenglamsi keltirib chiqariladi:

Agar bo’lsa, mebrana tenglamasi
(1.1.5)
ikki o’lchovli to’lqin tenglamasi deyiladi. Uch o’lchovli to’lqin tenglamasi
(1.1.6)
bir jinsli muhitda tovush tarqalishi va elektr o’tkazmaydigan bir jinsli muhitda elektromagnit to’lqinlari tarqalishini ifodalaydi. (1.1.6) tenglamani gazning zichligi, bosimi, tezliklarning potensiali hamda elektr va magnit maydonlari kuchlanishlarining tashkil etuvchilari qanoatlantiradi.
(1.1.3), (1.1.5), (1.1.6) tenglamalar qisqacha
(1.1.7)
ko’rinishida yoziladi, bunda -to’lqin operator (Dalamber operatori):

-Laplas operatori

Tor yoki sterjen tebranish jarayoning fizik ma’nosidan shu narsa kelib chiqadiki, bu jarayonni bir qiymatli ifodalash uchun qo’shimcha u siljish va tezlikning boshlang’ich vaqtidagi qiymatlarini (boshlang’ich shartlar)
berish zarur:

Bundan tashqari torning chetki nuqtalaridagi holatini ham ko’rsatish kerak. Torning tekshirilayotgan qismining ikki cheti mustahkamlangan bo’lsa, izlanayotgan yechim

Shartlarni qanoatlantirishi zarur.
Agar tor yoki sterjenning chetlari mustahkamlanmay, biror qonun bo’yicha harakatlanayotgan bo’lsa,

shartlarni berish kerak.
Agar torning l chetiga berilgan kuch ta’sir qilayotgan bo’lsa,

Haqiqatdan ham bu holda
.
Agar sterjenning ikki yoki bir cheti, masalan x=l elastik mustahkamlangan bo’lib, -mustahkamlik qattiqligi koeffisiyenti bo’lsa, Guk qonuniga asosan
bo’ladi, ya’ni x=l chet siljishi mumkin, ammo mustahkamlanganlikning elastik bu chetda taranglik paydo bo’lishga sabab bo’ladi, bu esa siljigan chetni oldingi holatiga keltirishga intiladi.
Yuqorida keltirib chiqarilgan to’lqin tebranish tenglamalari ravshanki, giperbolik tipga tegishlidir.