Reja: Kirish Umumlashgan funksiyaga ko`paytirish Umumlashgan funksiyalarni differensiallash

3. Umumlashgan funksiyaning boshlang`ich funksiyasi.
Bu punktda deb olamiz. intervalda uzluksiz bo`lgan ixtiyoriy funksiya (yagona o`zgarmas son aniqligida) boshlang`ich funksiyasiga ega va bu boshlang`ich funksiya

tenglik orqali aniqlanadi. tenglikni biz ixtiyoriy umumlashgan funksiyaning boshlang`ich funksiyasini aniqlash uchun ta`rif sifatida qabul qilamiz.
Ta`rif. fazodan olingan umumlashgan funksiya va fazodan olingan umumlashgan funksiyalar uchun tenglik bajarilsa, ya`ni ixtiyoriy uchun
(10)
munosabat o`rinli bo`lsa, u holda umumlashgan funksiya umumlashgan funksiyaning boshlang`ich funksiyasi deyiladi.
(10) tenglik shuni ko`rsatadiki, funksional barcha asosiy funksiyalar uchun emas, balki shu asosiy funksiyalarning birinchi tartibli hosilasi uchungina berilgandir. Bizning maqsadimiz mazkur funksionalni butun fazoga davom ettirishdan iborat bo`lib, bunda davom ettirilgan funksional shu fazoda chiziqli va uzluksizligini saqlagan holda davom ettirishning ixtiyoriylik darajasini aniqlash kerak bo`ladi. Ixtiyoriy tanlangan nuqta bo`lsin. U holda
, (11)
bunda uchun - “shapkacha” funksiya va
(12)
bo`ladi.
Biz bo`lishligini isbot qilamiz. Haqiqatdan ham, va agar supp bo`lsa, u holda , uchun bo`ladi. Shu bilan birga , uchun

Demak, supp munosabat o`rinli bo`ladi. Shunga ko`ra ekanligini hosil qilamiz.
Endi funksionalni (11) tenglikka qo`llasak, u holda

ekanligini hosil qilamiz, ya`ni (10) tenglikni e`tiborga olsak, u holda ixtiyoriy uchun
(13)
bo`ladi, bunda deb belgilangan. Demak, agar funksiyaning boshlang`ich funksiyasi mavjud bo`lsa, u holda bu boshlang`ich funksiya (13) tenglik orqali aniqlanadi, bunda funksiya (12) formula orqali aniqlangan.
Endi teskari tasdiqni isbot qilamiz, ya`ni ixtiyoriy o`zgarmas son uchun funksional (13) va (12) formulalar orqali aniqlangan bo`lsa, u holda bu funksional umumlashgan funksiyaning boshlang`ich funksiyasi ekanligini isbotlaymiz.
Haqiqatdan ham, funksionalning chiziqliligi be`vosita kelib chiqadi. Uning fazoda uzluksizligini isbot qilamiz. Aytaylik, da fazoda yaqinlashuvchi bo`lsin, ya`ni supp va da tekis yaqinlashuvchi bo`lsin. U holda yuqorida isbot qilinishiga ko`ra, oraliqning tashqarisida

teng bo`ladi va da tekis yaqinlashuvchi bo`ladi. Boshqacha so`z bilan aytganda da fazoda yaqinlashuvchi bo`ladi. Shuning uchun fazoda umumlashgan funksiyaning uzluksizligiga ko`ra da

yaqinlashuvchi bo`lishligini hosil qilamiz. Bu esa uning uzluksizligini tasdiqlaydi. Shunga ko`ra bo`ladi. funksional umumlashgan funksiyaning intervaldagi boshlang`ich funksiyasi ekanligini isbotlash qoldi. Haqiqatdan ham, agar (12) formulada funksiyani funksiya bilan almashtirsak, u holda bo`ladi. Shunga ko`ra hosil bo`ladi va bunga ko`ra (13) formuladan (10) formula kelib chiqadi. Shunday qilib quyidagi teorema isbot bo`ldi.