Reja: Kirish Umumlashgan funksiyaga ko`paytirish Umumlashgan funksiyalarni differensiallash

Umumlashgan funksiyaga ko`paytirish

va bo`lsin. U holda ixtiyoriy uchun
tenglik o`rinli bo`ladi. Bu tenglikni biz umumlashgan funksiyaning cheksiz differensiallanuvchi funksiyaga ko`paytmasining ta`rifi sifatida qabul qilamiz, ya`ni ixtiyoriy uchun
(1)
tenglik o`rinli bo`ladi. Ma`lumki, ixtiyoriy uchun amal sinfni sinfga akslantirib chiziqli va uzluksiz bo`ladi. Shuning uchun (1) tenglik bilan aniqlangan funksional fazodagi umumlashgan funksiyani ifoda qiladi.
Bu (1) formula bilan aniqlangan ixtiyoriy funksiyaning umumlashgan funksiyaga ko`paytirish amali fazoni fazoga akslantiruvchi chiziqli va uzluksiz akslantirish bo`ladi, ya`ni ixtiyoriy uchun

bo`lib, agar fazoda da bo`lsa, u holda fazoda da bo`ladi.
Bundan tashqari,
supp supp supp
munosabat o`rinlidir, chunki va
supp
supp supp
bo`ladi.
Agar bo`lsa, u holda
(2)
tenglik o`rinli bo`ladi, bunda ixtiyoriy funksiya bo`lib umumlashgan funksiyaning tashuvchisi atrofida birga teng bo`ladi. Haqiqatdan ham, ixtiyoriy uchun va funksiyalarning tashuvchilari umumiy nuqtaga ega emas. Shuning uchun

bo`ladi. Bu esa (2) tenglikka teng kuchlidir.
Misollar:
a) tenglik o`rinlidir. Haqiqatdan ham, ixtiyoriy uchun

bo`ladi, ya`ni tenglik o`rinlidir.
b) tenglik o`rinlidir. Haqiqatdan ham, ixtiyoriy uchun

bo`ladi, ya`ni tenglik o`rinlidir.
Savol tug`iladi: ixtiyoriy umumlashgan funksiyalarning ko`paytmasini shunday kiritish mumkinmi, bunda ko`paytma ham umumlashgan funksiya bo`lsin? . Lokal integrallanuvchi funksiyalarning ko`paytmasi yana lokal integrallanuvchi funksiya bo`lmasligi mumkin, masalan fazoda funksiya lokal integrallanuvchi bo`lmaydi. Bunga o`xshash holat umumlashgan funksiyalar uchun ham o`rinli bo`ladi. L. Shvarts tomonidan ko`paytirishning assotsiativlik va kommunikativlik hossalari o`rinli bo`lgan bunday ko`paytmani aniqlash mumkin emasligi ko`rsatilgan.
Haqiqatan ham, agarda bunday ko`paytma mavjud bo`lsa, u holda a) va b) misollardan foydalanib
tenglikka ega bo`lar edik. Bu qarama-qarshilik bunday ko`paytmani aniqlash mumkin emasligini ko`rsatadi.
umumlashgan funksiya va umumlashgan funksiyalarning ko`paytmasini aniqlash uchun ixtiyoriy nuqtaning atrofida umumlashgan funksiya qanchalik “regulyar” bo`lmasa, u holda umumlashgan funksiya shu nuqtaning atrofida shunchalik “regulyar” bo`lishligi kerak bo`ladi va aksincha.
Masalan, agar bo`lsa, u holda bo`ladi deb, agar funksiya 0 nuqtaning atrofida uzluksiz bo`lsa, u holda bo`ladi deb hisoblash tabiiydir.