Режа: Кўп ўзгарувчили функцияларнинг экстремумлари. Зарурий шартлар

М и с о л л а р. 1) Ушбу 
(
) 
функциянинг максимум ва минимумларини текширинг. 
Хусусий ҳосилаларни ҳисоблаймиз: 
Бундай ягона статсионар нуқта координаталар боши (0, 0)еканлиги маълум 
бўлади
ва 
ларни ҳисоблайлик: 
, 
,
; 
бундан
>0. Демак, (0, 0) нуқтада  
 функция минумумга эга: бу 
бевосита ҳаммаълумдир.
Бу функциянинг геометрик образи чўққиси бошланғич нуқтада бўлган э л л 
и п т и к п а р а б о л о и д бўлади (55- чизма билан таққосланг) 
2)
( ) 
бунда 
Бу ерда ҳам (0, 0) нуқта статсионар нуқтадир. 
Қуйидагиларни ҳисоблаймиз: 
, 
,
; 

---

бундан
>0. Демак, экстремум йўқ экан. 
Бу ерда чўқиси координаталар бошида бўлган гиперболик параболоид 
бўлади.
3) 
ѐки 
Иккала ҳолда ҳам(0, 0) статсионар нуқта 
бўлиб, бу нуқтада: 
=0. Юқоридаги усул бу масалага жавоб бера 
олмайди: лекин шуни бевосита кўриш мумкинки, биринчисида минумум, 
иккинчисида эса йўқ бўлади. 
3. Функциянинг энг катта ва энг кичик қийматлари. Мисоллар.
( 
) функция бирорта чекли ѐпиқ Дсоҳада аниқланган ва 
узлуксиз ҳамда бу соҳада чекли хусусий ҳосилаларга эга бўлсин. Веерштрасс 
теоремасига мувофиқ [136- 
-, бу соҳада функция ҳамма қийматлар ичида 
энг катта (енг кичик) қиймат қабул этадиган (
) нуқта топилади. 
Агар(
) нуқта Дсоҳанинг ичида ѐтса, у ҳолда унда функция м а 
к с и м у м (м и н и м у м) қийматга эга бўлиши аниқ, демак, бу ҳолда бизни 
қизиқтирган нуқта экстремум бўйича ,,шубҳали“ нуқталар ичида бўлиши 
мумкин. Бироқ , у функция ўзининг энг катта ( энг кичик ) қийматига 
соҳанинг чегарасида ҳам эришиши мумкин. Шунинг учунДсоҳада
( 
) фунгсиянинг энг катта ( энг кичик ) қийматини топиш учун 
экстремум бўйича ҳамма ички ,,шубҳали ҳали“ статсионар нуқталар топиб 
функциянинг бу нуқталардаги қийматларини ҳисоблаб, унинг чегарадаги 
қийматлари билан таққослаб кўриш керак: бу қийматларнинг ичидан энг 
каттаси (енг кичиги ) функциянинг шу соҳадаги энг катта ( энг кичик ) 
қиймати бўлади. 
Айтилганларни м и с о л л а р билан тушунтирамиз.
1-
ўқ  ўқ ва тўғри чизиқ билан чегараларни учбурчак (60-
чизма) 
( ) 
функциянинг энг катта қийматини топиш талаб қилинади. Ҳосилаларни 
топайлик: 
( )
( )
Соҳанинг и ч и д а г и ягаона 
.
/ нуқтада ҳосилалар нолга айланади, 
унда

---

√ 
. Соҳанинг чегарасида, яъни х=0, 
=0 ва тўғри 
чизиқларда бизнинг функция нол бўлганлигидан, юқорида топилган
.
/ нуқтада функция энг катта қийматга 
эришиши шубҳасиз. 
1. Манфий бўлмаган 
сонларнинг 
кўпайтмасининг энг катта қийматини уларнинг 
йиғиндиси 
ўзгармас миқдорга тенг, 
деган шарт бажарилганда топайлик. 60-чизма 
функция учун энг катта қийматга ҳамма кўпайтирувчилар тенг
*) бўлгандагина эришишини кўрсатамиз. [ *)Фақат аниқлик учун 
кўпайтувчиларнинг сонини тўрта тенг деб олдик ихтиѐрий сондаги 
кўпайтувчилар учун ҳам натижа бўлади.] Берилган шартдан 
ни топамиз: 
бу ифодани га қўямиз. 
( )
Биз бу ерда 
шарт билан аниқлангануч ўлчовли соҳада учта эркли
ўзгарувчининг 
функциясига эга бўлдик. Геометрик жиҳатдан бу соҳа
текисликлар билан чегараланган т э т р а э д р д а н 
иборат бўлади. 
Ҳосилаларни ҳисоблаб , уларни нолга тенглаймиз: 
( )
( )
( )
у тенгламалар соҳанинг и ч и д а фақат нуқтадагина 
қаноатланади ва бу ерда 
Соҳанинг чегарасида 
бўлганлигидан, 
топилган нуқтада, ҳақиқатан ҳам қийматга эришади. 
Тасдиқ исботланди, чунки
да *). [ *) 
Юқорида айтилганлардан, йиғиндиси 
бўлган мусбат сонларнинг

---

кўпайтмаси 
дан катта бўла олмайди, деган хулоса келиб чиқади, демак, 
√
, яъни ўрта геометрик қиймат ўрта арифметик 
қийматдан катта бўлмайди. Бу ихтиѐрий миқдордаги сонлар учун ўринли 
бўлади.] 
Изоҳ. Келтирилган мисолларда қаралаѐтган соҳанинг и ч и д а фақат битта 
статсионар нуқта мавжуд эди. Бу нуқтада максимум борлиги билан 
қаноқтланиш мумкин эди. Бироқ, бир ўзгарувчили функция учун 
айтиганлардан фарқ (118-
даги изоҳга қаранг), бу ерда шунинг ўзидан 
соҳада функциянинг энг катта қиймати билан иш қилмоқдамиз дейилган 
натижани чиқара олмаслигимизда бўлади. 
Ҳақиқатда ҳам бундай натижани чиқариш нотўғри хулосага олиб 
келишини қуйидаги содда мисол кўрсатади. 
, - тўғри тўртбурчакда 
функцияни текширайлик. Унинг ҳосилалари 
,
бу соҳада фақат (0, 0) нуқтадагина нолга тенгдир. Юқорида қаралган 152-
даги белгидан бу нуқтада функция максимумга ( нолга тенг) эгалигига 
ишониш мумкин. Бироқ бу қий- мат соҳада энг катта бўла олмайди, чунки 
(5, 0) нуқтада функция 25 га тенгдир. 
Шу сабабли кўп ўзгарувчили функция бўлган ҳолда ( соҳада функциянинг 
энг катта энг кичик қийматларини топишда) максимум ва минумга текшириш 
амалий жиҳатдан керак бўлмай қолади.