Reja: Matritsalar va ular ustida amallar

Matritsalar va ular ustida amallar

Matritsani songa ko’paytirish.
𝐴 matritsani 𝜆 songa ko’paytmasi 𝜆𝐴 bilan belgilanadi.
𝐴 matritsaning 𝜆 songa 𝜆𝐴 ko’paytmasi deb shunday 𝐵 matritsaga aytiladiki, 𝐵
matritsaning elementlari 𝑏𝑖𝑗 = 𝜆𝑎𝑖𝑗 dan iboratdir, bu yerda 𝑎𝑖𝑗 – 𝐴 matritsaning elementlari. 𝐴 matritsani 𝜆 songa ko’paytirganda hosil bo’ladigan 𝐵 matritsa 𝐴 matritsa bilan bir xil o’lchovli bo’ladi. Hullas, matritsani biror songa ko’paytirish uchun bu matritsaning har bir elementini shu songa ko’paytirib chiqish kerak.

Matritsalar va ular ustida amallar

Masalan,
𝜆 = −2,
𝐴 =
3 0
7 −1
bo’lsin. U holda
𝜆𝐴 = −2 ⋅
3 0
7 −1
=
−6 0
−14 2
.

Matritsalar va ular ustida amallar

Matritsalarni ko’paytirish.
matritsalarning ko’paytmasi deb shunday 𝐶𝑚×𝑝 = 𝐴 ⋅ 𝐵 (sodda qilib,
𝐴𝑚×𝑛 va 𝐵𝑛×𝑝
𝐴𝐵) matritsaga aytiladiki, bu 𝐶 matritsaning elementlari
𝑐𝑖𝑗 = 𝑎𝑖1𝑏1𝑗 + 𝑎𝑖2𝑏2𝑗 + 𝑎𝑖3𝑏3𝑗 +. . . +𝑎𝑖𝑛𝑏𝑛𝑗
ko’rinishda bo’ladi, bu yerda 𝑎𝑖𝑗 va 𝑏𝑖𝑗 - mos ravishda 𝐴 va 𝐵 matritsalarning
elementlari. Bundan ko’rinadiki, 𝐴 va 𝐵 matritsalarning ko’paytmasi ma’noga ega bo’lishi uchun 𝐴 matritsaning ustunlari soni 𝐵 matritsaning satrlari soniga teng
bo’lishi zarur. Hosil bo’lgan 𝐴𝐵 ko’paytmaning satrlari soni 𝐴 matritsaning satrlari soniga, ustunlari soni esa 𝐵 matritsaning ustunlari soniga teng.

Matritsalar va ular ustida amallar

𝐴𝐵 ko’paytmaning mavjudligidan 𝐵𝐴 ko’paytmaning mavjudligi kelib chiqmaydi. 𝐴𝐵 va 𝐵𝐴 ko’paytmalar mavjud bo’lgan taqdirda ham, odatda (ko’p hollarda), 𝐴𝐵 va 𝐵𝐴 ko’paytmalar bir-biriga teng bo’lmaydi: 𝐴𝐵 ≠ 𝐵𝐴. Agar 𝐴𝐵 = 𝐵𝐴 bo’lsa, u holda 𝐴 va 𝐵 matritsalar o’zaro o’rin almashinuvchi (kommutativ) matritsalar deyiladi.
Ma’lumki, har doim 𝐴𝐵 𝐶 = 𝐴 𝐵𝐶 tenglik o’rinli.

Matritsalar va ular ustida amallar

Misol 1. 𝐴𝐵 va 𝐵𝐴 ko’paytmalarni toping.
𝐴 =
4 −5 8
1 3 −1
,
𝐵 =
−1 5
−2 −3
3 4
.
𝐴𝐵 ko’paytmani topamiz:
𝐴𝐵 =
4 −5 8
1 3 −1
⋅
−1 5
−2 −3
3 4
=
=
4 ⋅ (−1) + (−5) ⋅ (−2) + 8 ⋅ 3
1 ⋅ (−1) + 3 ⋅ (−2) + (−1) ⋅ 3
4 ⋅ 5 + (−5) ⋅ (−3) + 8 ⋅ 4
1 ⋅ 5 + 3 ⋅ (−3) + (−1) ⋅ 4
=
30 67
−10 −8
.