Reja: Matritsalar va ular ustida amallar

Matritsaning rangini topish usullari

Shu tarzda birinchi satrda yana nollarni hosil qilamiz:
𝐴 ∼

0	0	1	0	0
2	−1	0	−4	−5
−1	−1	0	−3	−2
4	1	0	2	−1

.
Endi oxirgi matritsaning to’rtinchi satrini ikkinchi va uchinchi satrlar bilan qo’shamiz, buning natijasida ikkinchi ustunda yana ikkita nollar paydo bo’ladi, shundan so’ng to’rtinchi satr va ikkinchi ustunning kesishmasida bir hosil bo’ladi, to’rtinchi satrning qolgan hamma joyida nollarni hosil qilamiz.

Matritsaning rangini topish usullari

Bu elementar almashtirishlar natijasida topamiz:
𝐴 ∼

0	0	1	0	0		0	0	1	0	0		0	0	1	0	0
6	0	0	−2	−6	∼	0	0	0	0	0	∼	0	0	0	0	0
3	0	0	−1	−3	3		0	0	−1	−3	0		0	0	1	0
0	1	0	0	0	0		1	0	0	0	0		1	0	0	0

.
Uchta birlarga ega bo’ldik. Shunday qilib, 𝑟𝑎𝑛𝑔𝐴 = 3.
Bazis minor tuzamiz. Birlar qaysi satr va ustunda turganligiga e’tibor qaratamiz. Faqat nollarning o’zidan iborat bo’lgan satrlar va ustunlardagi elementlar bazis minorda qatnashmaydi, demak, ikkinchi satr, birinchi va beshinchi ustunlardagi elementlar bazis minorda qatnashmaydi.

Matritsaning rangini topish usullari

Dastlabki
𝐴 =
1 1 2 3 −1
2 −1 0 −4 −5
−1 −1 0 −3 −2
6 3 4 8 −3
matritsada ikkinchi satr, birinchi va beshinchi ustunlarni o’chiramiz:

1	2	3
−1	0	−3	≠ 0.
3	4	8
Mana shu minor bazis minor bo’ladi.

Matritsaning rangini topish usullari

Hoshiya minorlar usuli
𝑘 −tartibli 𝑀𝑘 minor berilgan bo’lsin. 𝑀𝑘 minorni o’z ichiga olgan (𝑘 + 1) − tartibli
𝑀𝑘+1
minor 𝑀𝑘 minorni hoshiyalovchi (o’rab turuvchi) minor, yoki, qisqa qilib,
hoshiya minor deyiladi.

Agar 𝐴 matritsada 𝑀𝑘 ≠ 0		bo’lib, un
bo’lsa,	u holda 𝑟𝑎𝑛𝑔𝐴 = 𝑘	bo’ladi.

ing barcha hoshiyalovchi minorlari 𝑀𝑘+1 = 0

Misol 3.	Matritsaning rangini toping:
		1	−3	5	4
	𝐴 =	2	−6	4	3	.
		3	−9	3	2

Matritsaning rangini topish usullari

Yechish. Ixtiyoriy bitta ikkinchi tartibli minorni hisoblaymiz:
𝑀2 =
−3 5
−6 4
≠ 0.
𝑀2 minorning hoshiya minorlari ikkita:
𝑀3 =
1 −3 5
2 −6 4
3 −9 3
3
= 0, 𝑀∗ =
−3 5 4
−6 4 3
−9 3 2
= 0.
Hoshiya minorlarning ikkalasi ham nolga teng. Shuning uchun 𝑟𝑎𝑛𝑔𝐴 = 2.
𝑀2 minorni bazis minor sifatida qabul qilish mumkin.

Matritsalar qisqacha tarixi

Matritsalar dastlab qadimgi Xitoy yozuvlarida uchraydi, ular matritsani “Sehrli kvadratlar” deb atashgan. Ular matritsalardan chiziqli tenglamalarni yechishda foydalanishgan.
Keyinroq arab matematiklarining asarlarida ham sehrli kvadratlar uchraydi, tahminan shu paytlarda matritsalarni qo’shish qoidalari topilgan. Hindistonda paydo bo’lgan shaxmat o’yini ham sehrli kvadratdir.

Matritsalar qisqacha tarixi

XVII asrning oxirlarida determinantlar nazariyasi rivojlangandan so’ng XVIII asrda Gabriel Kramer o’z nazariyasini yaratishga

kirishdi va “Kramer qoidasi”ni 1751 yilda e’lon qildi. Tahminan shu vaqt oralig’ida “Gauss usuli” paydo bo’ldi. XIX asrning o’rtalarida Uilyam Gamilton va Artur Kelining ishlarida matritsalar nazariyasi mukammal nazariya sifatida shakllandi.
Gabriel Cramer
(1777-1855)
Carl Friedrich Gauss
(1704-1752)
(1805-1865)
(1821-1895)
Arthur Cayley
William Rowan Hamilton

Matritsalar qisqacha tarixi

Veyershtrass, Jordan va Frobenius kabi olimlar matritsalar nazariyasida fundamental natijalarni oldilar. “Matritsa” atamasini fanga Jeyms Silvestr 1850 yilda kiritgan.
“Kramer qoidasi” va “Gauss usuli” ni keyingi ma’ruzamizda batafsil o’rganamiz.
Karl Weierstrass
(1815-1897)
Marie Jordan
(1838-1922)
Ferdinand Frobenius
(1849-1917)
James Joseph Sylvester
(1814-1897)

Foydali adabiyotlar ro’yxati

01
02
03
04
Claudio Canuto, Anta Tabacco. Mathematical Analysis I, (II). Springer-Verlag, Italia, Milan, 2008 (2015).
Б.А.Худаяров Математика. I-қисм. Чизиқли алгебра ва аналитик геометрия. Тошкент, “Фан ва технология”, 2018. -284 с.
Б.А.Худаяров “Математикадан мисол ва масалалар тўплами”
Тошкент “Ўзбекистон” 2018 йил. 304 б.
Э.Ф.Файзибоев, З.И.Сулейменов, Б.А.Худаяров “Математикадан мисол ва масалалар тўплами”, Тошкент, “Ўқитувчи” 2005 й. 254 б.

Foydali adabiyotlar ro’yxati

05
06
Ф.Ражабов ва бошқ. “Олий математика”, Тошкент “Ўзбекистон” 2007 йил. 400 б.
П.Е.Данко ва бошқалар. “Олий математика мисол ва масалаларда” Тошкент, “Ўқитувчи” 2007 йил. 136 б.
07
Б.A.Худаяров Сборник индивидуальных заданий по математики.
Ташкент. “Ўқитувчи” 2018 г. 168 с.
E`TIBORINGIZ
UCHUN RAHMAT!
Savollar uchun [e-mail] @ertuhtasin www.tiiame.uz