Reja: Matritsalar va ular ustida amallar


M atritsalar va ular ustida amallar


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Matritsalar va ular ustida amallar2

M atritsalar va ular ustida amallar


𝐴𝐡 ko’paytmaning mavjudligidan 𝐡𝐴 ko’paytmaning mavjudligi kelib chiqmaydi. 𝐴𝐡 va 𝐡𝐴 ko’paytmalar mavjud bo’lgan taqdirda ham, odatda (ko’p hollarda), 𝐴𝐡 va 𝐡𝐴 ko’paytmalar bir-biriga teng bo’lmaydi: 𝐴𝐡 β‰  𝐡𝐴. Agar 𝐴𝐡 = 𝐡𝐴 bo’lsa, u holda 𝐴 va 𝐡 matritsalar o’zaro o’rin almashinuvchi (kommutativ) matritsalar deyiladi.
Ma’lumki, har doim 𝐴𝐡 𝐢 = 𝐴 𝐡𝐢 tenglik o’rinli.

M atritsalar va ular ustida amallar


Misol 1. 𝐴𝐡 va 𝐡𝐴 ko’paytmalarni toping.
4 βˆ’5 8
𝐴 =,
1 3 βˆ’1

βˆ’1 5
𝐡 =βˆ’2 βˆ’3.

  1. 4

𝐴𝐡 ko’paytmani topamiz:
βˆ’1 5

  1. βˆ’5 8

𝐴𝐡 =βˆ’2 βˆ’3=
1 3 βˆ’1

  1. 4

  2. β‹… (βˆ’1) + (βˆ’5) β‹… (βˆ’2) + 8 β‹… 3 4 β‹… 5 + (βˆ’5) β‹… (βˆ’3) + 8 β‹… 430 67

==.
1 β‹… (βˆ’1) + 3 β‹… (βˆ’2) + (βˆ’1) β‹… 3 1 β‹… 5 + 3 β‹… (βˆ’3) + (βˆ’1) β‹… 4βˆ’10 βˆ’8

M atritsalar va ular ustida amallar


𝐡𝐴 ko’paytmani topamiz:
βˆ’1 5
4 βˆ’5 8
𝐡𝐴 =βˆ’2 βˆ’3
1 3 βˆ’1 3 4
(βˆ’1) β‹… 4 + 5 β‹… 1 (βˆ’1) β‹… (βˆ’5) + 5 β‹… 3 (βˆ’1) β‹… 8 + 5 β‹… (βˆ’1)
=(βˆ’2) β‹… 4 + (βˆ’3) β‹… 1 (βˆ’2) β‹… (βˆ’5) + (βˆ’3) β‹… 3 (βˆ’2) β‹… 8 + (βˆ’3) β‹… (βˆ’1)
3 β‹… 4 + 4 β‹… 1 3 β‹… (βˆ’5) + 4 β‹… 3 3 β‹… 8 + 4 β‹… (βˆ’1)
1 20 βˆ’13 =βˆ’11 1 βˆ’13.
16 βˆ’3 20
Shunday qilib, 𝐴𝐡 β‰  𝐡𝐴 ekan.

M atritsalar va ular ustida amallar


Misol 2. 𝐴𝐡 va 𝐡𝐴 ko’paytmalarni toping.
3 51 βˆ’5
𝐴 =, 𝐡 =.
1 2βˆ’1 2
Hisoblaymiz:
3 51 βˆ’53 β‹… 1 + 5 β‹… (βˆ’1) 3 β‹… (βˆ’5) + 5 β‹… 2βˆ’2 βˆ’5
𝐴𝐡 ===,
1 2βˆ’1 21 β‹… 1 + 2 β‹… (βˆ’1) 1 β‹… (βˆ’5) + 2 β‹… 2βˆ’1 βˆ’1
1 βˆ’53 51 β‹… 3 + (βˆ’5) β‹… 1 1 β‹… 5 + (βˆ’5) β‹… 2βˆ’2 βˆ’5
𝐡𝐴 ===.
βˆ’1 21 2(βˆ’1) β‹… 3 + 2 β‹… 1 (βˆ’1) β‹… 5 + 2 β‹… 2βˆ’1 βˆ’1
Shunday qilib, 𝐴𝐡 = 𝐡𝐴 ekan.

  1. 3

2
𝐴 =βˆ’1 1, 𝐡 =
1

  1. 5

βˆ’ 1
βˆ’6 1 , 𝐢 =2.

  1. βˆ’1

4

Ko’paytmalarni hisoblaymiz:
5 3 βˆ’2
𝐴𝐡 =βˆ’1 9 βˆ’2

9 3 βˆ’3
βˆ’ 7
𝐴𝐡 𝐢 = 11 ,
βˆ’15

βˆ’ 10
𝐡𝐢 = , 𝐴
1
ya`ni𝐴𝐡𝐢 = 𝐴𝐡𝐢.
βˆ’ 7
𝐡𝐢 = 11 ,
βˆ’15

𝑛 βˆ’ tartibli kvadrat matritsa berilgan bo’lsin:
π‘Ž11 π‘Ž12 . . . π‘Ž1𝑛
𝐴 =π‘Ž.21. . π‘Ž.22. . .. .. .. π‘Ž.2.𝑛.
π‘Žπ‘›1 π‘Žπ‘›2 . . . π‘Žπ‘›π‘›

Agar 𝐴 matritsaning determinanti noldan farqli
π‘Ž11 π‘Ž12 . . . π‘Ž1𝑛
𝑑𝑒𝑑 𝐴 =π‘Ž.21. . π‘Ž.22. . .. .. .. π‘Ž.2.𝑛.β‰  0
π‘Žπ‘›1 π‘Žπ‘›2 . . . π‘Žπ‘›π‘›
bo’lsa, 𝐴 matritsa aynimagan matritsa deyiladi. Agar 𝑑𝑒𝑑 𝐴 = 0 bo’lsa, 𝐴 matritsa aynigan matritsa deyiladi.
𝐴 matritsaga teskari matritsa π΄βˆ’1 ko’rinishda belgilanadi. Teskari matritsa tushunchasi faqat aynimagan kvadrat matritsalarga taalluqlidir. Ushbu
1 0 . . . 0
0 1 . . . 0
𝐸 =
. . . . . . . . . . . .

0 0 . . . 1
kvadrat matritsa birlik matritsa deyiladi.
Ushbu
π‘Ž11 π‘Ž21 . . . π‘Žπ‘›1
𝐴𝑇 =π‘Ž.12. . π‘Ž.22. . .. .. .. π‘Ž.𝑛2. .
π‘Ž1𝑛 π‘Ž2𝑛 . . . π‘Žπ‘›π‘›
kvadrat matritsa 𝐴 matritsaga nisbatan transponirlangan matritsa deyiladi.
Aynimagan 𝐴 matritsa berilgan bo’lsin. Agar
𝐴 β‹… π΄βˆ’1 = π΄βˆ’1 β‹… 𝐴 = 𝐸

bo’lsa, π΄βˆ’1 matritsa 𝐴 matritsaga teskari matritsa deyiladi. 𝐴 matritsaga teskari π΄βˆ’1 matritsani topish formulasi:
𝐴11 𝐴21 . . . 𝐴𝑛1
π΄βˆ’1 =𝐴12 𝐴22 . . . 𝐴𝑛2, . . . . . . . . . . . .
𝐴1𝑛 𝐴2𝑛 . . . 𝐴𝑛𝑛
bu yerda 𝐴𝑖𝑗 βˆ’ berilgan 𝐴 matritsaga nisbatan transponirlangan 𝐴𝑇 matritsaning algebraik to’ldiruvchilari.

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