Reja: Matritsalar va ular ustida amallar

M atritsaning rangini topish usullari

Shu tarzda birinchi satrda yana nollarni hosil qilamiz:
0 0 1 0 0
2 −1 0 −4 −5
𝐴 ∼.
−1 −1 0 −3 −2
4 1 0 2 −1
Endi oxirgi matritsaning to’rtinchi satrini ikkinchi va uchinchi satrlar bilan qo’shamiz, buning natijasida ikkinchi ustunda yana ikkita nollar paydo bo’ladi, shundan so’ng to’rtinchi satr va ikkinchi ustunning kesishmasida bir hosil bo’ladi, to’rtinchi satrning qolgan hamma joyida nollarni hosil qilamiz.

M atritsaning rangini topish usullari

Bu elementar almashtirishlar natijasida topamiz:
0 0 1 0 00 0 1 0 00 0 1 0 0
6 0 0 −2 −60 0 0 0 00 0 0 0 0
𝐴 ∼∼∼.
3 0 0 −1 −33 0 0 −1 −30 0 0 1 0
0 1 0 0 00 1 0 0 00 1 0 0 0
Uchta birlarga ega bo’ldik. Shunday qilib, 𝑟𝑎𝑛𝑔𝐴 = 3.
Bazis minor tuzamiz. Birlar qaysi satr va ustunda turganligiga e’tibor qaratamiz. Faqat nollarning o’zidan iborat bo’lgan satrlar va ustunlardagi elementlar bazis minorda qatnashmaydi, demak, ikkinchi satr, birinchi va beshinchi ustunlardagi elementlar bazis minorda qatnashmaydi.

M atritsaning rangini topish usullari

Dastlabki

1. 
   1 2 3 −1
   
2. 
   −1 0 −4 −5
   

𝐴 =
−1 −1 0 −3 −2
6 3 4 8 −3
matritsada ikkinchi satr, birinchi va beshinchi ustunlarni o’chiramiz:
1 2 3
−1 0 −3≠ 0.
3 4 8
Mana shu minor bazis minor bo’ladi.

M atritsaning rangini topish usullari

Hoshiya minorlar usuli
𝑘 −tartibli 𝑀_𝑘 minor berilgan bo’lsin. 𝑀_𝑘 minorni o’z ichiga olgan (𝑘 + 1) − tartibli 𝑀_𝑘+1 minor 𝑀_𝑘 minorni hoshiyalovchi (o’rab turuvchi) minor, yoki, qisqa qilib, hoshiya minor deyiladi.
Agar 𝐴 matritsada 𝑀_𝑘 ≠ 0 bo’lib, uning barcha hoshiyalovchi minorlari 𝑀_𝑘+1 = 0
bo’lsa, u holda 𝑟𝑎𝑛𝑔𝐴 = 𝑘 bo’ladi.
Misol 3. Matritsaning rangini toping:
1 −3 5 4
𝐴 =2 −6 4 3.
3 −9 3 2