Reja: Monoton uzluksiz funksiyalar

4.5-teorema. segmentda aniqlangan o`suvchi funksiyalardan iborat cheksiz to`plam berilgan bo`lib, bu funksiyalar to`plami biror o`zgarmas M son bilan chegaralangan, ya`ni
bo`lsa, u holda to`plamdan [a, b] segmentning har bir nuqtasida biror o`suvchi
funksiyaga yaqinlashuvchi ketma-ketlikni ajratib olish mumkin.
Isbot. 4.4-teoremadagi sanoqli to`plam sifatida [a, b] segmentdagi hamma ratsional nuqtalardan va a nuqtadan ( agar a irratsional bo`lsa) iborat to`plamni olib, berilgan to`plamga shu teoremani tatbiq qilamiz. U holda to`plamdan to`plamning har bir nuqtasida chekli limitga ega bo`lgan ketma –ketlikni ajratib alishimiz mumkin, ya`ni
(11)
Endi to`plamninghar bir nuqtasida qiymati (4.4) limitning qiymati o`ng tamonga teng funksiyani ko`ramiz, ya`ni . funksiya to`plamda aniqlangan bo`lib o`suvchi funksiya bo`ladi, chunki sistemadan ajratib olingan funksiyalar ketma-ketligining har bir elimenti o`suvchi funksiya (teoremaning shartiga ko`ra) bo`lgani uchun da

Demak, agar va nuqtalar to`plamga tegishli bo`lib, bo`lsa, u holda

Endi funksyani (a, b] yarim oraliqning hamma irratsional nuqtalarida quyidagicha aniqlaymiz:
,
Bu yerda va mod ravishda to`plamning ratsional va irratsional nuqtalari.
Ravshanki, funksiya tuzilishiga ko`ra [a, b] segmentda o`suvchi funksiyadir. Demak, 45.3-teoremaga asosan funksiyaning uzilish nuqtalaridan iborat to`plam ko`pi bilan sanoqli bo`ladi.
Agar nuqta ning uzluksizlik nuqtasi bo`lsa, u holda
(4.4)
Darhaqiqat, ixtiyoriy uchun to`plamdan shunday va nuqtalar mavjudki, ular uchun va
munosabatlar o`rinli.


45-BETGA JOY
(11) ga muvofiq, va nuqtalar uchun shunday natural son son mavjudki, bo`lganda

Tengsizlik o`rinli bo`ladi, ya`ni
- -
ning tuzilishiga muvofiq, bu munosabatlarga asoslanib, bo`lganda quyidagi tengsizliklarni yozishga haqlimiz:


bulardan va uchun

tengsizlikning o`rinli ekanligidan da

tengsizliklar o`rinli bo`ladi va bundan ( ixtiyoriy bo`lganligi uchun) (12) munosabat kelib chiqadi. 45.3 teoremaga asosan funksiyaning uzilish nuqtalari to`plami ko`pi bilan sanoqli bo`lganligi uchun
(13)
tenglik [a, b] segmentning ko`pi bilan sanoqli qismidagina bajarilmasligi mumkin. Shuni nazarda tutib , 4.4 – teoremani ketma-ketlikka tadbiq qilamiz ; to`plam sifatida ning (13) munosabat bajarilmagan nuqtalarini olamiz. Buning natijasida ketma-ketlikdan [a,b] segmentning har bir nuqtasida yaqinlashuvchi qism ketma-ketlik ajratib olish mumkin. Endi sifatida

funksiya olinsa, u o`suvchi bo`lib, biz izlagan funksiya bo`ladi.