Reja: Monoton uzluksiz funksiyalar

Teorema 1.4 (Tubini) segmentda
(10)
Qator berilgan bo`lib, uning hadlari kamaymaydigan (o`sib bormaydigan) funksiyalar bo`lsin. U holda bu qatorni deyarli bir nuqtada hadlab differensiallash mumkin, ya`ni

Isbot. Teoremaning umumiyligini chegaralamasdan va hamma funksiyalarni kamaymaydigan deb faraz qilish mumkin. va lar deyarli har bir nuqtada mavjud, demak, da o`lchovi ga teng bo`lgan shunday to`plam mavjudki, buning har bir nuqtasida ham , ham lar mavjud. va ixtiyoriy uchun ushbu

munosabatni yozamiz.
Chap tomondagi ifodaning hadlari manfiy bo`lmagani sababli bundan ixtiyoriy natural N uchun

Bundan da limitlarga o`tib,

Tengsizlikni va N ni ga intiltirib, larni manfiy emasligini hisobga olinsa,

Tengsizlik kelib chiqadi.
Endi oxirgi (11) munosabatda deyarli har bir nuqtada tenglik o`rinliligini ko`rsatamiz. (10) munosabat o`rinli bo`lgani uchun shunday k topiladiki, (10) qatorning xususiy yig`indisi uchun:
Ushbu:

Ayirma kamaymaydigan funksiya ekanligidan barcha x uchun:

Qatorning segmentning har bir nuqtasida yaqinlashuvchiligi (hatto tekis yaqinlashuvchiligi) kelib chiqadi. U holda (11) munosabatni isbotlaganimiz kabi, ushbu

qatorning deyarli har bir nuqtada yaqinlashuvchanligi keltirib chiqaramiz.
Bu qatorning umumiy hadi deyarli har bir nuqtada nolga intiladi, demak, deyarli har bir nuqtada . Ikkinchi tomondan, agar (11) munosabatda < ishorasi turganda edi, hech qanday xususiy yig`indilar ga intila olmas edi. Shunday qilib, (11) da deyarli har bir nuqtada tenglik bo`lishi kerak. Bizga esa shuni isbotlash kerak edi.
Misol. Endi hosilasi deyarli har bir nuqtada nol bo`lgan hamda hech qanday oraliqda o`zgarmas songa teng bo`lmagan monoton uzluksiz funksiyaga misol keltiramiz. intervaldan birror t sonni tanlab, segmentni ko`rinishdagi ta teng bo`laklarga bo`lib, induksiya usuli yordami bilan segmentda aniqlangan, uzluksiz quyidagi funksiyalar ketma-ketligini tuzamiz: da bo`lib ixtiyoriy n da funksiya segmentda aniqlangan, uzluksiz hamda har bir ko`rinishdagi bo`lakchada chiziqli bo`lsin. da funksiyani quyidagicha aniqlaymiz: va nuqtalarda
;
oraliqlarning o`rtasida , ya`ni nuqtada:

Bu yerda t – yuqorida tanlab olingan son va oraliqlarida esa ni chiiqli deb hisoblaymiz
Ravshanki, bunday aniqlangan funksiyalar o`suvchi funksiyalardir va

Buning uchin ketma-ketlik biror kamaymaydigan funksiyaga yaqinlashadi. Bu funksiyaning uzluksiz, jiddiy o`sib boruvchi va deyarli har bir nuqtada hosilasi nolga teng ekanligini isbot qilamiz. Buning uchun segmentdan biron x nuqtani olamiz va har biri bu nuqtani o`z ichiga olgan va bir-birining ichiga joylashgan oraliqlar ketma-ketligini turamiz bu yerda

Agar biror bo`lakchani olsak, u holda nuqta (xuddi shuningdek, nuqta) yoki biror oraliqning o`rta nuqtasi bo`ladi yoki nuqta bilan ustma-ust tushadi.
Masalan, agar nuqta nuqta bilan ustma-ust tushsa, u holda nuqta oraliqning o`rta nuqtasi bo`lib, funksiyaning aniqlanishiga asosan, ushbu
,

Tenglikka ega bo`lamiz.
Bulardan

Tenglikni olamiz.
Aksincha, agar nuqta biror oraliqning o`rta nuqtasi bo`lsa, u holda nuqta bilan ustma-ust tushib, yana funksiyaning aniqlanishiga asosan


Tengliklarga ega bo`lamiz. Bulardan

Tengliki olamiz.
Demak, umumiy holda ushbu

Tenglikni yozishimiz mumkin. Bundan va

Tengliklardan

Tenglikni, bundan esa

Tenglikni hosil qilamiz. bo`lgani uchun bo`lgandan

Munosabat va da

Munosabat kelib chiqadi. Demak, uzluksiz, jiddiy o`suvchi funksiya va uning hosilasi (mavjud bo`lgan nuqtalarda) quyidagi