Reja: Monoton uzluksiz funksiyalar

Teorema 1.2 Monoton fuksiyaning uzilishi nuqtalari faqat 1-turdagi bo`lishi mumkin.
Isbot: Haqiqatan, x<sub>0</sub> € [a, b] ixtiyoriy nuqta bo`lib ketma-ketlik nuqtaga chapdan yaqinlashsin, ya`ni 45.1 teoremaga asosan ketma-ketlik quyidan va yuqoridan mos ravishda va sonlar bilan chegaralangandir. Matematik analizdagi monoton ketma-ketlikning limiti haqidagi teoremaga asosan bunday ketma-ketlik limitga ega. f(x) funksiyaning monotonligiga asosan bu limit nuqta yagonadir. Shu bilan birga ning mavjudligi isbotlandi. ning mavjudligi shunga o`xshash isbotlanadi.
Teorema 1.3 Monoton fuksiyaning uzilish nuqtalari to`plami ko`pi bilan sanoqlidir.
Isbot: Haqiqatan, [a, b] segmentda monoton bo`lgan f(x) funksiyaning chekli sondagi sakrashlarining yig`indisi ayirmadan katta bo`la olmaydi. Bundan quyidagi muhim natija kelib chiqadi: han bir n natural son uchun qiymati dan katta bo`lgan sakrashlar soni cheklidir. Bulardan, n bo`yicha qoshib chiqib, sakrash natijalardan iborat to`plam chekli yoki sanoqli degan xulosani olamiz.
2 – ta`rif : agar [a, b] segmentda aniqlangan f(x) monoton funksiya uchun nuqtada ning nuqtada tenglik bajarilsa, nuqtada chapdan uzluksiz, agarda tenglik bajarilsa, nuqtada o`ngdan uzluksiz funksiya deyiladi.
Kelajakda ishlatiladigan monoton funksiyalarga misollar keltiramiz.
1. Aytaylik, segmentdan olingan soni chekli yoki sanoqli nuqtalarga musbat sonlar mos qo`yilgan bo`lib bo`lsin. segmentda
(1.1)
Tenglik bilan aniqlangan funksiya sakrash unksiyasi deyiladi. Bu funksiya nuqtada chapdan uzluksiz monoton funksiyadir. Haqiqatan, n natural sonni shunday katta tanlashimiz mumkinki, bo`lganda tengsizlik ham o`rinli bo`ladi. Bundan funksiyaning ta`riflanishiga asosan:

Tenglik kelib chiqadi. Bundan da ni olamiz. Agar (1) tenglik bilan aniqlangan funksiya o`rniga ushbu
(1.2)
Tenglik bilan aniqlangan funksiyani olsak, bu funksiya uzilish nuqtalari lardan va bu nuqtalarga mos kelgan sakrashlari sonlardan iborat bo`lgan o`ngdan uzluksiz monoton funksiya bo`ladi.
Haqiqatan, agar nuqta nuqlarning birortasi masalan, bilan mos tushsa, u holda
,

Tengliklardan funksiyaning ta`riflanishiga asosan

Tenglikka ega bo`lamiz. Agar x nuqta nuqtalarning birortasi bilan ustma-ust tushmasa, u holda sonni shundaytanlash mumkinki, tengsizlik bilan birga tengsizlik ham o`rinli bo`ladi. Bundan va funksiyaning ta`riflanishidan

Tenglik kelib chiqib, funksiya uzluksiz bo`ladi. Endi funksiyaning o`ngdan uzluksizligi

Tenglikdan kelib chiqadi.
2. segmentdagi Kontor mukammal to`plamini qaraymiz va funksiyani quyidagicha aniqlaymiz:
Agar

Bo`lsa,

Ikkinchi qadamda tushirib qoldirilgan intervalda va intervalda va umuman k-qadamda tushirib qoldiriladigan chapdan birinchi intervalda , ikkinchi intervalda va hakozo. Oxirgi intervalda kabi aniqlaymiz. Bu jarayonni cheksizgacha davom ettiramiz. Natijada funksiya segmentdagi Kontor mukammal to`plamidan boshqa barcha nuqtalarida aniqlangan bo`ladi (14-shakl).
Endi to`plamda funksiyani quyidagicha aniqlaymiz: agar bo`lsa,



Bundan tashqari, nuqtada deb olsak, funksiyani butun oralig`ida aniqlagan bo`lamiz. Bu usul bilan aniqlangan funksiya monoton kamaymaydigan uzluksiz funksiyadir. Haqiqatan, funksiyaning monotonligi uning ta`riflanishidan ravshan. funksiyaning uzluksizligini isbotlaymiz. Agar bu funksiya nuqtada uzulishga ega bo`lsa, u holda

Yoki

Segmentlardan birortasi funksiyaning qiymatlarini o`z ichiga olmaydi. Lekin funksiyaning ta`riflanishiga, asosan, uning qiymatlari intervaldagi barcha ikkilik ratsional sonlardan iborat bo`lib, unda zich joylashgan. Bu qarama-qarshilik funksiyaning uzluksizligini isbotlaydi. funksiya kontor funksiyasi deyiladi.