Reja: Qurilqan matematik modellarning sonli yechish usullari

Ayirmali sxemalar misollari.



nuqtalar to`plamini qaraymiz. bu to`plamni qadami h ga teng tekis to`r deb ataymiz kesmada aniqlangan yetarlicha silliq funksiya bo`lsin..
,
belgilashlarni qabul qilamiz.. ayirmali nisbatlar mos ravishda o`ng, chap va markaziy x<sub>i</sub> nuqtadagi ayirmali hosilalar deb aytiladi.
Bu ayirmali nisbatlarning har biri u'(x) ni tanlangan x<sub>i</sub> - ni nuqtada approksimatsiya qiladi (yaqinlashtiradi), ya'ni h-->0 , bu nisbatlar u'(x) ga intiladilar.
Аgar u(x<sub>i</sub>+h) - funksiyani Teylor formulasi bo`yicha yoyilmasini qarasak:

munosabat o`rinli bo`ladi.
Xuddi shunday:

Nihoyat

bo`lganligi uchun

bo`ladi, bulardan

hosil bo`ladi..
Bu munosabatlardan ko`rinib turibdiki, o`ng va chap ayirmali nisbatlar u'(x) ni h ning birinchi daraja bilan, markaziy ayirmali nisbatlar esa h ning ikkinchi darajali (tartibli) approksimatsiya qilar ekan.
Ikkinchi tartibli

ayirmali nisbatni qaraymiz.
Teylor formulasiga asosan:

Bundan

kelib chiqadi.
Bu munosabatdan - ikkinchi tartibli ayirma u''(x_i) ni ikkinchi tartibli approksimatsiyalaydi degan xulosa qilamiz.
Bundan tashqari

munosabat o`rinli ekanligi kelib chiqadi.
Endi
(1)
differentsial ifodani qaraymiz. k(x) – o`zgaruvchi koeffisiyent.
(1) - ifodani
(2)
ayirmali munosabat bilan almashtiramiz, bu erda to`rda aniqlangan funksiya.
va ikkinchi tartib bilan approksimatsiya qiladigan a(x) funksiya uchun shartlarni aniqlaymiz.
(2) ifodaga

bu erda larni qo`yib

ekanligini aniqlaymiz.
Bundan tashqari, bo`lganligi sababli

Bundan , agar
(3)
shartlar bajarilsa ekanligi ko`rinadi.
(3) shart ikkinchi tartibli approksimatsiyaning yetarli sharti deb aytiladi. Bu shartlarni chiqarishda u(x) to`rtinchi tartibli differenetsiallanuvchi ekanligini faraz qildik.
(3) shartni funksiyalarning qanoatlantirishlarini ko`rish qiyin emas. faqat birinchi tartibli approksimatsiyani ta'minlaydi.
Ikkinchi misol sifatida Laplas operatorining ayirmali approksimatsiyasini qaraymiz.
(4)
Tekislikda nuqtalar to`plamini qaraymiz (to`g`ri burchakli to`r) va

k
abi belgilaymiz.
1-rasm. _h to`ri va besh nuqtali qolip.
Oldingi mulohazalarga asosan,
(5)

ayirmali ifoda (4) - differentsial tenglamani ikkinchi tartibli approksimatsiya qiladi, ya'ni

Bundan tashqari 6-tartibli uzluksiz u(x₁,x₂) hosilali funksiyalar uchun

munosabat o`rinli.
(5) ayirmali ifoda besh nuqtali Laplas ayirmali operatori deyiladi, chunki y funksiyaning beshta nuqtalardagi qiymatlardan foydalanadi (1– rasmga qarang).
Bu nuqtalar to`plami ayirmali operatorning qolipi deb aytiladi.