Reja: Qurilqan matematik modellarning sonli yechish usullari

Ayirmali sxemalar qurishning integro-interpolyatsion
metodi.

1. 
   Ayirmali sxemalarni qurish.
   

Matematik fizika masalalari differentsial tenglama va bu differentsial tenglama yechimining mavjudligi va yagonaligini ta'minlovchi qo`shimcha (boshlang`ich va chegaraviy) shartlar yordamida tavsiflanadilar.

Bunday masalalarga misol sifatida Laplas tenglamasiga qo`yiladigan Dirixle masalasini qarash mumkin.
Parabolik va giperbolik tenglamalar uchun Koshi va aralash masalalarni misol qilib olish mumkin.
Ayirmali sxema deyilganda , tenglama va qo`shimcha shartlarni approksimatsiya qiladigan ayirmali tenglamalar sistemasi (majmuasi) tushuniladi.
Ayirmali sxemalarni qurishning turli usullari mavjud. Bu erda biz integro-interpolyatsion (yoki balans)deb aytiladigan metod bilan tanishamiz.
Bu metodni quyidagi differentsial tenglama uchun ayirmali sxemani kurish jaraenida namoyish etamiz:

bu yerda - etarlicha silliq bo`lgan oldindan ma'lum bo`lgan funksiyalar, va - ma'lum sonlar. Bunday shartlar bajarilganda (1) va (2) masalaning yechimi yagona va mavjuddir.
Bu tenglama yechimini etarlicha silliq deb faraz qilamiz. (1) tenglamani uzunligi l ga teng sterjendagi haroratning taqsimlanish tenglamasi sifatida qarash mumkin.
- sterjenning x=l nuqtasidagi issiqlik miqdori (harorat darajasi), - issiqlik almashish (x=0) miqdori.Bunda k(x) issiqlik almashish koeffisienti, - issiqlik oqimi, q(x) va f(x) manba'larning zichligini xarakterlovchi funksiyalar.
Ayirmali sxema qurish uchun, eng avval [0,l] kesmada h- qadamli tekis



turni aniqlaymiz.

belgilashlarni qabul qilib (1)-ni kesma bo`yicha integrallaymiz.
Unda
(3)
tenglamani hosil qilamiz. Bu kesmada issiqlik balansi tenglamasidir.
So'ngra ni uning takribiy qiymati bilan almashtiramiz va
(4)
belgilashlarni qabul qilamiz.
Natijada (3) tenglama o`rniga
(5)

tenglamaga ega bo`lamiz.

Endi qiymatlarni u(x) - ning tur nuqtalaridagi qiymatlari orqali ifodalaymiz. Buning uchun
munosabatni kesma bo`yicha integrallaymiz. Unda

munosabatga ega bo`lamiz.
(6)
belgilash kiritsak
,munosabatlarga ega bo`lamiz.
Bularni (5)-tenglamaga qo`yib qidirilayotgan funksiyaning x_i,x_i-1,x_i+1 nuqtalardagi qiymatlari qatnashgan.

yoki qisqa yozuvda
(7)
ayirmali tenglamani hosil qilamiz.
Bu ayirmali tenglama (7) differentsial tenglamaning ayirmali o`xshatmasidir.
(7) tenglamani barcha u aniqlangan I=1,2,...,N-1 , nuqtalar uchun yozib N-1 - ta chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini hosil qilamiz. Unda N+1 – ta -noma'lum bor. Bu noma'lumlarni aniqlashning birdan-bir yo`li yana ikkita tenglama tuzish.
Ikkita etishmaydigan tenglamalarni (2)-chegaraviy shartlarni approksimatsiya qilish bilan hosil qilamiz.
Bu shartlarning biri , ikkinchisi esa integro-interpolyatsion metod yordamida hosil qilinishi mumkin.
Buning uchun (1)-ni kesmada integrallaymiz,
(8)
Oldingidek deb учун uchun chegaraviy shartdan kelib chiqadi:
, nihoyat

deb olib (8)-ayniyatdan
(9)
ayirmali tenglamani hosil qilamiz.

belgilash kiritib (9)-ni

ko`rinishda yozamiz.
Bu yozuvdan xosil qilingan ayirmali tenglama - chegaraviy shartning uxshatmasi ekanligi ko`rinib turibdi.
Kelgusida ayirmali masala echimini differentsial masala echimidan farq qilish uchun ayirmali masala echimini y bilan belgilaymiz, ya'ni (7),(9) tenglamalarni birlashtirib (1), (2) masala uchun
(10)
ayirmali sxemaga ega bo`lamiz.
(10) ayirmali sxemani , yoki boshqa ayirmali sxema tahlil qilinganda :
a) (10) tenglamalar sistemasi echimi mavjud va yagonami;
b) bu sistemani qanday usul bilan echish kerak;
v) (10) ayirmali sxema (1) , (2) dastlabki tenglamaga utadimi?
degan savollar paydo bo`ladi. Bu differentsial masalaning ayirmali sxema bilan approksimatsiya qilish masalasidir;

g) ayirmali sxema echimi y(x), differentsial masala echimi u(x) -ga intiladimi?

Dastlabki ikkita savolga bevosita javob berish mumkin. (10) ayirmali masala progonka metodi bilan echiladi. (10) - tenglamalar sistemasini

bunda

shartlardan ekanligi kelib chiqadi.
Bundan progonka metodining turgunligi kelib chiqadi. Shu sababli (10) ayirmali masala echiladigan bulib, uni progonka metodi yordamida echish mumkin.

1.