Режа: Тўпламлар ва уларнинг берилиши

Пример: Натурал ва бутун сонлар қувватлари бўйича тенг. |N| = |Z| тенглиги қуйидаги мослик ёрдамида исботланади:

n  (n N).
Қуйидаги тасдиқлар ўринли:

1. 
   Саноқли тўпламнинг ихтиёрий қисм тўплами саноқли.
   
2. 
   Саноқли сондаги чекли тўпламларнинг бирлашмаси саноқли тўпламдир.
   
3. 
   Саноқли тўпламларнинг саноқли ёки чекли сондаги бирлашмаси саноқли тўпламдир.
   

15-таъриф. Айтайлик бизга ва тўпламлари берилган бўлсин. Агар шундай В’ В тўплами мавжуд бўлиб, |А| = |В’| ва |А|  |В| мунособатлари бажарилса, у холда тўпламнинг қуввати тўпламнинг қувватидан кичик (|A|<|B|) дейилади.

4-Теорема (Кантор). [0; 1] кесмаси саноқли эмас, яъни |[0; 1]| > |N|.
16-таъриф. [0; 1] кесмасининг қуввати континуум дейилади. Бундай қувватга эга тўпламга континуал дейилади.
Хулоса. Рационал сонлар тўпламининг қуввати ҳақиқий сонлар тўпламининг қувватидан кичик, яъни |Q| < |R|.