Reja: Trigonometrik funksiyalar hosilasi

Ekstremumning zaruriy sharti

funksiya nuqtada chekli hosilaga ega bo’lib, bu nuqtada funksiya ekstremumga erishsa, u xolda
bo’ladi.

Ekstremumning yetarli shartlari

Agar funksiya nuqtada uzluksiz bo’lsa va o’sha nuqta ixtiyoriy atrofining, balki faqat ning o’zidan boshqa nuqtalarida chekli hosilaga ega bo’lsa va agar x ning qiymati dan o’tganda o’z ishorasini «+» dan «» ga o’zgartirsa, u holda
bo’ladi;
o’z ishorasini «» dan «+» ga o’zgartirsa, u holda
bo’ladi;
o’z ishorasini o’zgartirmasa, u holda funksiya ekstremumga ega bo’lmaydi.
Uchinchi hol ( va bo’lganda) oddiy nuqtada hamda burilish nuqtasida va shuningdek sinish nuqtasida ro’y beradi.
Demak, funksiyaning ekstremumini topish uchun:
1) ni topib, uni nolga aylantiruvchi yoki u mavjud bo’lmagan kritik nuqtalarni topish kerak;
2) har bir kritik nuqtadan chap va o’ng tomonlarida ning ishorasini, masalan, ushbu

		0	+	yo’q		0		- 	
	каmаyadi	min	o’sadi	Max	каmаyadi	burilish	каmаyadi	burilish	каmаyadi

ko’rinishdagi jadval tuzib, aniqlash kerak.

Funksiya ekstremumining yetarli shartlari (tekshirishning ikkinchi usuli).
Agar biror nuqtada:
1) va bo’lsa, u holda bo’ladi;
2) va bo’lsa, u holda bo’ladi.
3) bo’lsa bo’lsa, u holda masala yechilmasdan qoladi va uni yechish uchun birinchi usulga murojaat qilish kerak.
1-misol. funksiyaning monotonlik oraliqlarini va ekstremumlarini toping.
Yechish. Berilgan funksiyaning aniqlanish sohasi – butun Ox o’qi bo’lib, uning hosilasi .
Hosilani nolga tenglashtirsak bo’lib, u kritik nuqta bo’ladi.
Ox o’qini bu nuqta bilan ikkita oraliqqa bo’linadi: va .
Bu oraliqlarda hosilaning ishorasini tekshirib, natijalarni quyidagi jadvalga yozamiz:

		0	+
		min

Demak, funksiyaning hosilasi nuqtada o’ngdan chapga o’tishda o’z ishorasini manfiy ( ) dan musbat (+) ga o’zgartirar ekan. Berilgan funksiyaning o’zi nuqtada uzluksiz. Demak, funksiya nuqtada minimumga erishadi. Uning minimum qiymati

bo’ladi.

Mustaqil bajarish uchuntopshiriqlar

I. Quyidagi funksiyalarning o’sishi va kamayishini tekshiring.

1. ;	5. ;
2. ;	6. ;
3. ;	7. .
4. ;

II. Quyidagi funksiyalarning ekstremumlarini toping va ularning grafiklarini yasang.

1. ;	8.
2. ;	9. ;
3. ;	10. ;
4. ;	11. ;
5. ;	12. oraliqda
6. ;	13. ;
7. ;	14. .

III. Quyidagi funksiyalarning ekstremumlarini toping va jadvallarini tuzing.

1. ;	6. ;
2. ;	7. ;
3. ;	8. ;
4.	9. oraliqda.
5. ;

funksiyaning grafigi oraliqning istalgan nuqtasida o’tkazilgan urinmadan pastda yotsa, u holda funksiya grafigi qavariq deyiladi.
funksiyaning grafigi oraliqning istalgan nuqtasida o’tkazilgan urinmadan yuqorida yotsa, u holda funksiya grafigi botiq deyiladi.
Funksiya grafigining qavariq qismini botiq qismidan ajratuvchi nuqta grafikning egilish nuqtasi deyiladi.
oraliqda differensiallanuvchi funksiyaning ikkinchi tartibli hosilasi manfiy, ya’ni bo’lsa, u holda bu oraliqda funksiya grafigi qavariq bo’ladi.
oraliqda differensiallanuvchi funksiyaning ikkinchi tartibli hosilasi musbat, ya’ni bo’lsa, u holda bu oraliqda funksiya grafigi botiq bo’ladi.
Qavariqlik oralig’ini botiqlik oralig’idan ajratib turuvchi egilish nuqtasidan o’tishda funksiyaning ikkinchi tartibli hosilasi ishorasini o’zgartiradi.
Bunday nuqtalarda funksiyaning ikkinchi tartibli hosilasi yo nolga teng, yoki mavjud bo’lmaydi.
yoki mavjud bo’lmaydigan nuqtalar ikkinchi tur kritik nuqtalar deyiladi.
Agar nuqta funksiya uchun ikkinchi tur kritik nuqta bo’lsa va ikkinchi tartibli hosila bu nuqtadan o’tishida ishorasini o’zgartirsa, u holda bu funksiya grafigining abstsissali nuqtasi egilish nuqtasi bo’ladi.
Demak, funksiya grafigining qavariqlik, botiqlik oraliqlarini va egilish nuqtalarini topish uchun oldin funksiya aniqlanish sohasini ikkinchi tur kritik nuqtalar bilan oraliqlarga bo’lish va bu oraliqlarda ikkinchi tartibli hosila ishorasini tekshirish kerak. SHundan keyin yetarlilik shartlaridan foydalanib, qavariqlik va botiqlik oraliqlari hamda egilish nuqtalari aniqlanadi.
1-misol. Ushbu funksiyaning qavariqlik va botiqlik oraliqlarini hamda egilish nuqtalarini toping.
Yechish. Funksiya ikkinchi tartibli hosilasi
ni
nolga tenglasak

bo’ladi.
va intervallarda , ya’ni funksiya grafigi bu oraliqlarda qavariq.
va intervallarda , ya’ni funksiya grafigi bu oraliqlarda botiq.
Demak, nuqtalar funksiya grafigining egilish nuqtalaridir.
funksiya a nuqtaning biror atrofida aniqlangan bo’lsin.
Ta’rif. Ushbu
limitlardan biri yoki ikkalasi cheksiz bo’lsa, u holda to’g’ri chiziq funksiya grafigining vertikal asimptotasi deb ataladi.
Masalan, funksiya grafigi uchun to’g’ri chiziq vertikal asimptota bo’ladi.
Endi funksiya oraliqda aniqlangan bo’lsin.
Ta’rif. Agar shunday o’zgarmas va sonlar mavjud bo’lsaki, da funksiya ushbu

ko’rinishda ifodalansa (bunda ), u holda to’g’ri chiziq funksiya grafigining og’ma asimptotasi deyiladi.
2-misol. Ushbu funksiya grafigining og’ma asimptotasini toping.
Yechish. Berilgan funksiya ko’rinishini quyidagicha o’zgartiramiz:

da bo’lgani uchun funksiyani ko’rinishda ifodalash mumkin.
Bundan esa to’g’ri chiziq funksiya grafigining og’ma asimptotasi ekani kelib chiqadi.

Funksiyalarni to’liq tekshirish va grafiklarini yasash

Funksiyalarni tekshirish va ularning grafiklarini yasashni quyidagi qoida bo’yicha amalga oshirish maqsadga muvofiqdir.

1. 
   Funksiyaning aniqlanish to’plamini topish;
   
2. 
   Funksiyaning uzluksizligini tekshirish va uzilish nuqtalarini topish;
   
3. 
   Funksiyaning juft, toq hamda davriyligini aniqlash;
   
4. 
   Funksiyaning monotonligini tekshirish;
   
5. 
   Funksiyaning ekstremumini tekshirish;
   
6. 
   Funksiya grafigining qavariq va botiqlik oraliqlarini aniqlash, egilish nuqtalarini topish.