Reja: Tutash muhit tushunchasi

1-Mavzu.

Tutash muhitlar mехanikasi faniga kirish. Kirish. Tutash muhitlar mехanikasi predmeti. Tutash muhit tushunchasi. Tеnzоr hisobi elementlari. Kirish. Skalyar va vektor miqdorlar. Tеnzоr. Tеnzоrlar ustida amallar. Tеnzоr invariatlari. Simmetrik va antisimmetrik tenzorlar. Levi-Chivita tenzori.

Reja:

1. Tutash muhit tushunchasi.

2. TMM ning tadqiqot ob’etlari va predmeti.

3. TMM metodlari. Statik va fеnomenologik metodlar.

4. Asosiy gipotezalar.

5. Asosiy tushunchalar.

6. Tеnzоr. Tеnzоrlar ustida amallar.

7. Tеnzоr invariatlari. Simmetrik va antisimmetrik tenzorlar.

Levi-Chivita tenzori

Tayanch iboralar: tutashlik, fazo va vaqt, ikki va uch o’lchovli metrik,

Еvklid va noevklid fazolar, absolyut vaqt. Tеnzоr

Tabiatdagi hamma jismlar o’zlarining gaz, suyuq yoki qattiq holatlaridan qat’iy nazar alohida-alohida mayda bo’lakchalar – zarrachalardan tashkil topgan. Molekulyar fizika kursidan ma’lumki 1 sm³ hajmdagi u yoki bu gazning molekulalari soni, yulduzlararo muhitdagi molekulalar soni, biror qattiq jism, masalan temirning kichik bir bo’lakchasidagi zarrachalar soni va hokazolarni hisoblab topish qiyin emas. Hisoblashlar odatda bu sonlar biz qaraydigan hajmlar uchun juda katta ekanligini ko’rsatadi, shunung uchun har qanday jismni biz taqribiy ravishda fazoning ma’lum bo’lagini tutash (uzluksiz) to’ldirgan deb qaraymiz (asosiy gipoteza). Biz yaxshi biladigan odatdagi jismlar – suv, tuproq, havo, tosh, temir va hokazolarni fazoning biror bo’lagini butunlay to’ldirgan jism sifatida qaraymiz. Nafaqat oddiy moddiy jismlarni, balki har xil maydonlarni ham, masalan elektromagnit maydoni, gravitasion maydon va boshqalarni ham uzluksiz kontinuum sifatida qarash yoki hisoblash mumkin. Bundan keyin biz yuqorida eslatilgan jismlar va maydonlarni bitta umumiy nom bilan – Tutash muhitlar deb ataymiz. Ushbu muhitlarning mexanik xarakteristikalarini o’rganuvchi ularning o’zaro ta’siri, ulardagi boshqa jismlar harakatlari va muvozanatlari bilan bog’liq masalalarni o’rganuvchi fanni Tutash muhitlar mexanikasi deb ataydilar.

Tabiatdagi u yoki bu jismni tutash muhit deb qarash uni ideallashtirishdan iboratdir. Bunday ideallashtirish biz deformatsiyalanuvchi jismlar harakatlarini tekshirishda uzluksiz funksiyalar apparatini, differensial va integral hisobini qo’llaganimiz bois zarurdir.

Yuqorida aytilganlardan quyidagicha xulosa qilish mumkin: tutash muhit deganda deformatsiyalanuvchi (tashqi ta’sir natijasida shakli o’zgaruvchi), qattiq, suyuq, gaz va plazma holatidagi jismlarni hamda ba’zi maydonlarni tushunamiz.

Nazariy mexanika kursida qattiq jism ideallashtirilib, ya’ni uni absolyut qattiq jism deb qarab, uning muvozanati va harakati o’rganiladi. Tumash muhitlar mexanikasi esa deformatsiyalanuvchi qattiq, suyuq va gazsimon jismlarning muvozanati, harakati va o’zaro ta’siri masalalarini o’rganadi. Bu yerdan ko’rinib turibdiki tutash muhitlar mexanikasi fan va texnikaning juda ko’p sohalariga tegishli masalalarni hal qilish bilan shuq’ullanishi kerak. Bunday masalalarning ichidan quyidagilarni alohida ajratib ko’rsatish mumkin:

• 
  gaz va suyuqliklarning ularda harakat qilayotgan jismga ta’sirini o’rganish;
  
• 
  gaz va suyuqliklarning quvurlardagi harakati;
  
• 
  suyuqliklarning tuproq qatlami yoki jismlardan o’tish harakati – filtrasiya masalalari;
  
• 
  gidrostatika masalalari;
  
• 
  to’lqin harakati masalalari, bu yerda to’lqin harakati jismning har uch fazaviy holatida ham sodir bo’ladi;
  
• 
  suyuqlik va gazlarning turbulent harakati masalalari;
  
• 
  qattiq jismlar atmosferaning qalin qatlamlariga yorib kirganda ularni yonishdan va erishdan saqlash;
  
• 
  magnit gidrodinamikasi masalalari;
  
• 
  qovushoq elastiklik nazariyasi masalalari;
  
• 
  elastiklik nazariyasi masalalari;
  
• 
  plastiklik nazariyasi masalalari;
  
• 
  astrofizika va kosmogoniya masalalari;
  
• 
  qurilmalarning mustahkamligi va yemirilishi masalalari;
  
• 
  biomexanika masalalari;
  
• 
  metereologiya masalalari;
  
• 
  yer fizikasi va seysmologiya masalalari;
  
• 
  harakatlanuvchi jismlarning elektromagnit maydonlar bilan o’zaro ta’siri masalalari;
  
• 
  va hokazo.
  

Moddiy jismlar harakatini o’rganishda tutash muhitlar mexanikasi asosan ikki usuldan foydalanadi – statistik hamda fenomenologik – makroskopuk usullar:

1. 
   biror muhitning harakati tekshirilayotganda uning zarrachalari bir biriga nisbatan harakatda deb qaraladi, lekin uning har bir zarrasining traektoriyasi, tezligi, tezlanishi va boshqa xarakteristikalari o’rganilmasdan, shu jism zarrachalari uchun umumiy bo’lgan o’rtacha xarakteristikalar o’rganiladi. Bu esa o’z navbatida fizika fanida qo’llaniladigan statistik usulga olib keladi va o’rganilayotgan hodisalarga ehtimollar nazariyasi nuqtai – nazaridan qaraladi.
   

Statistik metodlar har doim zarralarning xususiyatlari, o’zaro ta’siri va hokazolar bilan bog’liq bo’lgan qo’shimcha gipotezalarga asoslanadi. Shuning uchun ham statistik metodlarni qat’iy va aniq metodlar deb bo’lmaydi. Bundan tashqari statistik metodlar asosida chiqarilgan harakat tenglamalari juda murakkab bo’lganligi sababli bu metodlar o’z effektivligini yo’qotadilar;

2. 
   moddiy jismlar harakatini o’rganishdagi ikkinchi yo’l – tajribadan olingan umumiy qonuniyatlar va gipotezalar asosida fenomenologik – makroskopik nazariyani yaratishdir. Amaliy jihatdan muhim ko’pgina masalalarni yechishda makroskopik nazariya juda effektiv apparat hisoblanadi va uning yordamida topilgan ma’lumotlar tajriba natijalari bilan mos tushadi. Shuning uchun ham biz tutash mumitlar mexanikasi kursini o’rganishni moddiy muhitning fenomenologik – makroskopik nazariyasi asosida olib boramiz.
   

Tutash muhitlar mexanikasida ham, moddiy jismlar harakatini o’rganadigan boshqa fanlarda bo’lgani kabi, fazo va vaqt tushunchalari asosiy tushunchalar bo’lib hisoblanadilar. Chunki har qanday harakat biror fazoda qandaydir vaqt davomida sodir bo’ladi. Tutash muhitlar mexanikasi doirasida har qanday harakatni biz metrik (ixtiyoriy nuqtalari orasidagi masofalar aniqlangan) fazolarda tekshiramiz. Bunday metrik fazoga misol sifatida oddiy uch o’lchovli Evklid fazosini keltirish mumkin. Bu fazoning har bir nuqtasi, butun fazo uchun yaroqli bo’lgan, yagona (x,y,z) Dekart koordinatalari sistemasi bilan aniqlanadi va ixtiyoriy x₁ , y₁ , z₁ hamda x₂ , y₂ , z₂ koordinatali nuqtalari orasidagi masofa quyidaqi

formula bilan aniqlanadi. Bundan keyin biz faqat hamma nuqtalari uchun yaroqli bo’lgan yagona Dekart koordinatalari sistemasini kiritish mumkin bo’lgan fazolarni qaraymiz. Bunday fazo Evklid fazosi deyiladi va shu asosda rivojlantiriladigan mexanika Nyuton mexanikasi deyiladi.

Tutash muhitlar mexanikasida absolyut vaqtdan foydalaniladi. Vaqtning absolyutligini uning hamma uchun bir xilligida deb tushunish kerak, ya’ni vaqt poezddagi, samolyotdagi, auditoriyadagi va h.k. kuzatuvchilar uchun bir xil o’tadi. Lekin shuni ta’kidlash lozimki, bu narsa faqat Eynshteynning nisbilik nazariyasini hisobga olmaslik mumkin bo’lgan holdagina o’rinlidir.

Har bir fanning o’ziga xos tekshirish uslublari bo’ladi. Xuddi shunday, tutash muhitlar mexanikasining ham o’ziga xos uslublari mavjud. Bu uslublar matematik analiz, differensial geometriya, funksional analiz va boshqa matematik fanlar qonunlariga tayanadi. Tutash muhitlar mexanikasining hamma uslublari asosida quyidagi konsepsiya yotadi: tutash muhitning harakatini bir qiymatli aniqlovchi va tavsif etuvchi (xarakterlovchi) qator tushunchalar kiritiladi va ular sonlar yoki boshqa matermatik tushunchalar yordamida aniqlanadi. Bunday tushunchalarga misol sifatida tezliklar maydoni, bosimlar maydoni, harakat, muvozanat, zichlik, harorat va boshqalar ko’rsatilishi mumkin.

Tutash muhitlar mexanikasida mexanik masalalarni matematik masalalarga keltiruvchi uslublar ishlab chiqiladi. Bu yslublar yordamida mexanik masala qandaydir sonlarni yoki sonlar funksiyalarini har xil matematik amallar yordamida topishga keltiriladi. Lekin shuni ta’kidlash lozimki, ko’p hollarda matematik masalaga keltirilgan mexanik masala shunday qiyinlashadiki uni echish amri-mahol bo’ladi. Shuning uchun ham matematik ko’rinishga keltirilgan mexanik masalani echish matematikaning yoki matematiklarning ishi emas, balki mexanikaning, xususan mexaniklarning ishi hisoblanadi. Chunki ana shunday masalalar mexanik gipoteza va mulohazalar asosida soddalashtirilib, keyin echilishi mumkin. Shunday qilib, tutash muhitlar mexanikasining uslublari mexanik masalani matematik masalaga keltirish va uni echish uslublaridan iboratdir.

Shunday qilib quyidagi asosiy gipotezalarga ega bo’ldik.

1. 
   jism zarrachalari jism joylashgan fazo bo’lagini (qismini) tutash, (bo’shliqlarsiz) to’ldiradi. Bu zarrachalar cheksiz kichik hajmga ega bo’lib mexanik parametrlarga egadir (zichlik, harorat va h.k.);
   
2. 
   Jism harakat qiladigan fazo Evklid fazosi bo’lib, bu shunday fazoki unda hamma nuqtalar uchun umumiy bo’gan Dekart koordinatalari sistemasini kiritish va ixtiyoriy nuqtalar orasidagi masofani aniqlash uchun yagona formula beriladi. Masofaning o’lchov birligi sifatida Parij meridianining milliondan bir bo’lagi – metr qabul qilingan.
   
3. 
   Vaqt absolyutdir. Ya’ni u har qanday koordinatalar sistemasida bir xil va bir tekis o’tadi, boshqacha aytganda koordinatalar sistemasining nisbiy harakati bilan uzviy ravishda bog’langan. Vaqt birligi sifatida o’rtacha quyosh sutkasining 86400 dan bir qismi – sekund qabul qilingan.