Reja: Umumiy tushunchalar

3-Teorema. (Kroneker-Kapelli). Yuqoridagi (6) chiziqli tenglamalar sistemasi birgalikda bo‘lishi uchun bu sistema matritsasi va kengaytirilgan matritsalar ranglari teng bo‘lishi zarur va etarli.


Isbot. Zarurligi. (6) sistema birgalikda va x₁=k₁, x₂₌k₂,..., x_n=k_n va yechimga ega bo‘lsin, uholda quyidagi tengliklar to‘g‘ri bo‘ladi.

2. 
   matritsaning 1- ustunini k₁ ga, 2- ustunini k₂ ga va hokazo n ustunini k_n ga ko‘paytirib oxirgi ustunidan ayiramiz va B ga ekvivalent matritsa hosil qilamiz
   

Bu matritsaning oxirgi ustunini o‘chirish bilan A matritsaga kelamiz. Buning elementar almashtirishligini e’tiborga olsak: rangA=rangB.

Yetarliligi. rangA=rangB bo‘lsin. U holda A matritsadagi chiziqli bog‘liq bo‘lmagan maksimal sondagi ustunlar B matritsada ham chiziqli bog‘liq bo‘lmaydi. Demak shunday k₁, k₂,..., k_n koeffitsentlar topiladiki, B matritsaning oxirgi ustuni bu koeffitsentlarning A matritsa ustunlari

bilan ko‘paytmasining yig‘indisiga teng. B matritsaning oxirgi ustuni (6)

sistemaning oxirgi ustuni ekanligini hisobga olsak, Bu koeffitsentlar (6)
sistemaning yechimi bo‘ladi. Demak A va B matritsalar rangining tengligi bu
sistemaning birgalikda ekanligini keltirib chiqaradi. Teorema isbot
bo‘ldi.

Agar rangA=rangB=n bo‘lsa tenglamalar soni noma’lumlar soniga teng

bo‘lib sistema yagona yechimga ega bo‘ladi.
rangA=rangB=kbo‘lib k1, k2,..., kk noma’lumlar erkli o‘zgaruvchi kk+1, kk+2,..., kn lar orqali

ifodalanadi va sistema cheksiz ko‘p yechimga ega bo‘ladi. Agar A va kengaytirilgan B matritsalar ranglari teng bo‘lmasa, sistema yechimga ega bo‘lmaydi.

Agar (6) sistemada b₁ =b₂=... =b_n=0 bo‘lsa sistema bir jinsli deb ataladi.

Bu systema doimo birgalikda, chunki kengaytirilgan B matritsa A matritsadan elementlari noldan iborat oxirgi ustun bilan farq qiladi va rangA=rangB. Agar rangA=n bo‘lsa sistema yagona x₁ =0, x₂ =0,..., x_n=0 yechimga ega. rangA bo‘lgan holda (9) sistema noldan farqli yechimga ham ega bo‘ladi. Yuqoridagi sistema nolmas yechimga ega bo‘lishi uchun bu sistemaning asosiy determinanti nolga teng bo‘lishi kerak, bu tasdiq rangA ga teng kuchli bo‘ladi.