Рекомендации по построению метода итераций и его эффективных вариантов при приближенном решении алгебраических и трансцендентных уравнений

4. Геометрический смысл

Будем предполагать, что функции φ(x) и j(x) являются непрерывными. На плоскости X0Y построим графики функции Y=x и Y=φ(x). Каждый вещественный корень x* уравнения является абсциссой точки пересечения кривой Y= φ(x) с прямой Y=x. Начиная с некоторой точки A₀(x₀, φ(x₀)), строим ломаные линии A₀B₁A₁B₂A₂…(лестница), звенья которой попеременно параллельны оси 0X и оси 0Y, причем вершины A₀,A₁,A₂… лежат на кривой Y=φ(x). Общие абсциссы точек A₁ и B₁, A₂ и B₂ … представляют собой последовательные приближения x₁, х₂,…,х_k,… корня x*, которые сходятся к нему монотонно и односторонне.



Рис. 1.

На рис. 1 представлен случай, когда 00, т.е. a < 45⁰. Функция Y=φ(x) является возрастающей и вогнутой. Если -10B₁A₁B₂A₂… будет иметь вид спирали (рис.2). В этом случае сходимость является двусторонней, т.е. искомый корень всегда принадлежит отрезку [x_k,x_k+1]. Функция Y=φ(x) является убывающей и вогнутой.

Рис. 2.

Если |j(x)|>1, т.е. угол наклона касательной к кривой φ(x) превышает 45⁰, то в этом случае итерации сходиться не будут (рис.3).

Рис. 3.
Если же |j(x)|<1 в некоторой окрестности корня, а вдали от него это неравенство не выполняется, то итерационный процесс будет сходящимся только в том случае, если начальное приближение x₀ выбрано достаточно близко к корню (рис. 4).



Рис. 4.

При произвольном выборе начального приближения сходимости может не быть (рис. 5).

Рис. 5.