Рекомендации по построению метода итераций и его эффективных вариантов при приближенном решении алгебраических и трансцендентных уравнений

1. Отделение корней алгебраических и трансцендентных уравнений

Пусть имеется уравнение вида

F(x) = 0, (1)
где F(x) — алгебраическая или трансцендентная функция.
Решить такое уравнение - значит установить, имеет ли оно корни, сколько корней, и найти значения корней (либо точно, либо, если это невозможно, то с нужной точностью). Мы ограничимся обсуждением методов поиска лишь действительных корней, не затрагивая проблему корней комплексных.
Решение указанной задачи в достаточно общем случае начинается с отделения корней, т. е. с установления:

• 
  количества корней;
  
• 
  наиболее «тесных» промежутков, каждый из которых содержит только один корень.
  

Следует отметить, что универсальных приемов решения этой задачи, пригодных для любых уравнений, не существует.
Если бы мы располагали графиком функции F(x), то примерное положение корней уравнения (1) было бы очевидным — точки пересечения графика с осью абсцисс. Однако построение графиков функций обычно и начинается с поиска ее нулей, т.е. возникает замкнутый круг.
Тем не менее отделение корней во многих случаях можно произвести графически. Задачу часто удается сильно упростить, заменив уравнение (1) равносильным ему уравнением
f₁(x)=f₂(x) (2)
В этом случае строятся графики функций f₁(x) и f₂(x), а потом на оси х отмечаются отрезки, локализующие абсциссы точек пересечения этих графиков.
Для графического отделения корней уравнения преобразуем его к равносильному уравнению и отдельно построим графики функций (рис 1.)



Рис.1 Иллюстрация к отделению корней уравнения.

Из графика вполне очевидно, что уравнение имеет единственный корень E, и этот корень находится на отрезке [0; 1].

При решении задачи об отделении корней бывают полезными следующие очевидные положения:
Если непрерывная на отрезке [а; b] функция F(x) принимает на его концах значения разных знаков (т.е. F(a)*F(b) < 0), то уравнение (1) имеет на этом отрезке по меньшей мере один корень.
Если функция F(x) к тому же еще и монотонна, то корень на отрезке [а; b] единственный.
Вычислим для проверки значения функции F(x) = 2x - cosx на концах отрезка [0; 1]: F(0) = -1; F(l) = 2,54. Как видно, корень на отрезке [0; 1] действительно имеется.
В простейших случаях графическое отделение корней можно осуществить вручную, однако в более сложных случаях для исследования вопроса о наличии (и количестве) корней уравнения на заданном отрезке целесообразнее воспользоваться инструментальным пакетом или составить программу для компьютера на языке программирования. Рассмотрим коротко суть идеи для применения указанных подходов.
Пусть имеется уравнение F(x) = 0, причем известно, что все интересующие вычислителя корни находятся на отрезке [А; В], на котором функция F(x) определена, непрерывна и F(A)*F(B) < 0. Требуется отделить корни уравнения, т.е. указать все отрезки [а; b] принадлежащие [А; В], содержащие по одному корню.
Будем вычислять значения F(x), начиная с точки х-А, двигаясь вправо с некоторым шагом h (рис. 2).
Как только обнаружится пара соседних значений F(x), имеющих разные знаки, и функция F(x) монотонна на этом отрезке, так соответствующие значения аргумента х (предыдущее и следующее) можно считать концами отрезка, содержащего корень.



Рис. 2. Иллюстрация к процессу отделения корня

Отделить корни уравнений на отрезке .

Ниже приведена программа отделения корней уравнения на языке Turbo Pascal. Результатом решения поставленной задачи будут выводимые на экран (или на печать) в цикле значения параметров х₁ и х₂ (концов выделенных отрезков).

Результат выполнения программы для уравнения :

Для остальных уравнений будут приведены соответствующие решения, без указания программы, так как алгоритм аналогичный, изменение заключается ли в функции f.

Результат выполнения программы для уравнения :

Обратим внимание на то, что надежность рассмотренного алгоритма отделения корней уравнения зависит как от характера функции F(x), так и от выбранной величины шага h. Действительно, если при достаточно малом значении h на концах текущего отрезка [х; х + h] функция F(x) принимает значения одного знака, естественно ожидать, что уравнение F(x) = 0 корней на этом отрезке не имеет. Это, однако, не всегда так: при несоблюдении условия монотонности функции F(x) на отрезке [х; х + h] могут оказаться корни уравнения (рис. 3, а). Не один, а несколько корней могут оказаться на отрезке [х; х + h] и при соблюдении условия F(A)*F(B) < 0 (рис. 3, б). Предвидя подобные случаи, следует выбирать при отделении корней достаточно малые значения h.

Рис. 3. Зависимость количества корней функции F(x) на отрезке [х, х+ h] от характера функции и величины шага h: а — функция не меняет знака на отрезке [х, х + h], но не монотонна, поэтому на отрезке [х, х+ h] имеются корни; б — функция на отрезке [х, х + h] меняет знак, но немонотонна, поэтому корней на отрезке не один, а несколько.